316H钢及其焊缝金属辐照He泡演化与力学行为的相场-晶体塑性耦合模拟

图1 316H钢母材及其焊缝金属的微观组织

Fig.1 Microstructures of 316H base metal and weld metal (WM)

(a, b) EBSD inverse pole figures (IPFs) of 316H steel (a) and 316H WM (b) (c, d) TEM images of dislocations in 316H steel (c) and in 316H WM (d) (e) TEM image of δ-ferrites in 316H WM

2 He泡相场模型

2.1 自由能

He的主要特征是在材料中不溶解。然而，He可以在固体中自由扩散，并向空位团簇、位错和晶界等缺陷阱处迁移。聚集的He最初会形成He泡的形核位点，并在后续的辐照过程中生长和粗化，形成大尺寸He泡。本工作采用具有2个浓度场(无量纲的位点分数，即：原子数/晶格位点数)的相场模型，即空位浓度场c_v( r, t)和He浓度场c_g( r, t) (其中， r 为空间，t为时间)。此外，模型中还引入了一个非守恒序参数η_b( r, t)，用于在空间上区分He泡与基体。基于非守恒序参数，相场模型可以定义2种稳定相，η_b = 0代表基体，η_b = 1代表He泡。相场变量在空间和时间尺度上演化是以自由能降低为驱动力，整个模拟体系朝着稳定状态发展。因此，He泡演变相场模型的关键是根据相场变量构建包含He泡的体系自由能，根据Hu和Beeler^[23]的研究，He泡相场模拟体系的总自由能泛函(F)可以表示为各相自由能、界面能以及弹性应变能的总和：

F = \int_{V} [f_{b u l k} (c_{v}, c_{g}, η_{b}) + f_{i n t} (c_{v}, c_{g}, η_{b}) + f_{e l} (c_{v}, c_{g})] d V

(1)

式中，f_bulk为包含基体和He泡的体自由能密度函数，f_int为界面位置的自由能密度函数，f_el为弹性应变能密度函数，V为模拟体系的体积。

体自由能密度函数可以采用插值的方式写成关于基体和He泡的函数：

f_{b u l k} = h (η_{b}) f_{m a t r i x} (c_{v}, c_{g}) + j (η_{b}) f_{b u b b l e} (c_{v}, c_{g})

(2)

式中，f_matrix和f_bubble分别为基体和He泡的化学自由能密度；h(η_b)和j(η_b)分别为基于非守恒序参数场定义的描述基体和He泡的插值函数，h(η_b) = (η_b - 1)²以及j(η_b) = η $_{b}^{2}$ 。插值函数物理意义为：在η_b = 0时，h(η_b) = 1；在η_b = 1时，j(η_b) = 1。

根据统计热力学理论，f_matrix和f_bubble可以分别由以下公式描述^[28,29]：

f_{m a t r i x} = \frac{1}{V_{a}} \{N_{A} E_{v}^{f} c_{v} + N_{A} E_{g}^{f} c_{g} + R T [c_{v} l n c_{v} +

c_{g} l n c_{g} + (1 - c_{v}) l n (1 - c_{v}) +

(1 - c_{g}) l n (1 - c_{g})]\}

(3)

f_{b u b b l e} = \frac{R T}{V_{a}} \{c_{v} l n (\frac{c_{v}}{c_{v}^{b, e q}}) + (1 - c_{v}) l n (\frac{1 - c_{v}}{1 - c_{v}^{b, e q}}) +

c_{g} l n (\frac{c_{g}}{c_{g}^{b, e q}}) + (c_{g}^{b, m} - c_{g}) l n (\frac{c_{g}^{b, m} - c_{g}}{c_{g}^{b, m} - c_{g}^{b, e q}})\}

(4)

式中， $E_{v}^{f}$ 和 $E_{g}^{f}$ 分别为空位和He原子的形成能；N_A为Avogadro常数；R为气体常数；V_a为摩尔体积；T为热力学温度； $c_{g}^{b, m}$ 为He泡中He原子的最大浓度，可以根据Van der Waals常数(b_v)计算而得^[30]： $c_{g}^{b, m} = Ω / b_{v}$ ，其中，Ω为原子体积； $c_{v}^{b, e q}$ 和 $c_{g}^{b, e q}$ 分别为He泡中空位和He原子的平衡浓度。根据王亚峰等^[31]的研究，He泡中的空位平衡浓度为1，但模拟过程中为了数值的稳定性， $c_{v}^{b, e q}$ 取0.99。He原子的平衡浓度则由Van der Waals状态方程推导得出^[30]：

c_{g}^{b, e q} = \frac{Ω}{r_{b} k_{B} T / (2 γ_{s}) + b_{v}}

(5)

式中，r_b为He泡半径，γ_s为表面张力，k_B为Boltzmann常数。

图2显示了550 ℃下基于Van der Waals状态方程得出的奥氏体不锈钢He泡中He原子的热力学平衡浓度，所采用的奥氏体不锈钢相关的热力学参数见表2^[12,32~34]。可见，随着He泡尺寸的增大，He泡中He原子的平衡浓度呈现下降趋势。

图2

图2 550 ℃条件下316H钢He泡中He原子的浓度随半径的变化趋势

Fig.2 Equilibrium concentration of He atoms in the bubble vs bubble radius of 316H steel at the temperature (T) of 550 ^oC

表2 He泡相场模拟中所用的热力学参数^[12,32~34]

Table 2 Thermodynamic parameters used in phase field simulation^[12,32-34]

Parameter	Value	Unit
V_a^[32]	7.06	cm³·mol^-1
$E_{v}^{f}$ ^[12]	3.2 × 10^-19	J
$E_{g}^{f}$ ^[12]	6.4 × 10^-19	J
Ω^[32]	1.17 × 10^-29	m³
b_v^[33]	0.039	nm³·atom^-1
a^[33]	0.0034	J·m³·mol^-2
γ_s^[34]	1.82	J·m^-2

Note:V_a—molar fraction, $E v f$ —vacancy formation energy, $E g f$ —He atom formation energy, Ω—atomic volume, b_v—Van der Waals constant of He, a—constant for intermolecular attraction, γ_s—surface tension

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图3显示了550 ℃下He泡演化相场模型中基体和He泡的自由能密度的曲面图。在基体中(η_b = 0)，c_v和c_g取热平衡浓度时，基体自由能密度取最小值(图3a)；在He泡中(η_b = 1)，当 $c_{v} = c_{v}^{b, e q}$ 、 $c_{g} = c_{g}^{b, e q}$ 时，He泡自由能密度取最小值(图3b)。

图3

图3 550 ℃下He泡演化相场模型中基体与He泡的自由能密度

Fig.3 Free energy densities of matrix (a) and He bubble (b) at 550 ^oC in the phase field model of He bubble evolution

He泡相场中弹性自由能密度的构建是基于Khachaturyan^[35]发展的微弹性理论：

f_{e l} = \frac{1}{2} C_{i j k l} ({\bar{ε}}_{k l} + δ ε_{k l} - ε_{k l}^{*}) ({\bar{ε}}_{i j} + δ ε_{i j} - ε_{i j}^{*})

(6)

式中，C_ijkl 为弹性常数， ${\bar{ε}}_{k l}$ 和 ${\bar{ε}}_{i j}$ 为均匀应变， $δ ε_{k l}$ 和 $δ ε_{i j}$ 为非均匀应变， $ε_{i j}^{*}$ 为辐照导致的本征应变。由于存在过饱和空位，He原子以及He泡附近均会造成局部的晶格错配，因此本征应变是与空位、He原子以及He泡相关的函数：

ε_{i j}^{*} = [ε_{v}^{0} (c_{v} - c_{v}^{m, e q}) δ_{i j} + ε_{g}^{0} (c_{g} - c_{g}^{m, e q}) δ_{i j}] h (η_{b}) + ε_{b}^{0} δ_{i j} j (η_{b})

(7)

式中，插值函数区分了基体和He泡中不同的本征应变，基体中的本征应变是由于过饱和点缺陷造成的晶格错配引起的，而He泡中的本征应变则与He泡中的压力相关^[18]。 $ε_{v}^{0}$ 和 $ε_{g}^{0}$ 分别为与空位和He原子相关的晶格膨胀系数； $c_{v}^{m, e q} = e x p (- E_{v}^{f} / (k_{B} T))$ 和 $c_{g}^{m, e q} = e x p (- E_{g}^{f} / (k_{B} T))$ ，分别为空位和He原子在基体中的平衡空位浓度；δ_ij 为Kronecker函数。 $ε_{b}^{0}$ 为He泡引起的本征应变，定义如下^[31]：

ε_{b}^{0} = \frac{P_{b}}{C_{11} + 2 C_{12}}

(8)

P_{b} = \frac{c_{g} k_{B} T}{Ω - c_{g} b_{v}}

(9)

式中，P_b为He泡内压，C₁₁和C₁₂为材料弹性常数。

此外，可以看出，弹性常数的差异也会对弹性应变能密度分布产生影响。在Jiang等^[36]的工作中，He泡的弹性模量被赋予一个极小值，意味着在变形过程中He泡中的弹性应变能可以忽略不计。而在Hu和Beeler^[23]的工作中，认为He泡具有弹性模量，根据Van der Waals状态方程，He泡内部的体模量可根据下式进行计算^[33]：

B_{b} = \frac{V_{m} k_{B} T}{{(V_{m} - b_{v})}^{2}} - \frac{2 a}{V_{m}^{2}}

(10)

V_{m} = \frac{V_{a}}{c_{g}}

(11)

式中，B_b为体模量，a为度量分子间引力的唯象参数，V_m为描述He泡内He原子体积状态的变量。本工作采用与Wen等^[33]类似的处理方法，根据式(10)计算得出B_b约为20 GPa。因此，取 $C_{i j k l}^{b} = 0.1 C_{i j k l}^{M}$ ，其中， $C_{i j k l}^{b}$ 为He泡内部的弹性常数， $C_{i j k l}^{M}$ 为基体的弹性常数

2.2 耦合晶体塑性理论

He泡在形核与生长过程中极高的内压会导致基体材料局部的应力集中，甚至发生塑性变形。He泡在改变基体内部的应力分布的同时，应力状态也会影响He泡的演化。因此，本工作进一步在He泡相场模型中纳入了基于晶体塑性的本构方程描述He泡演化过程中的塑性行为。通过修正式(6)，将塑性应变( $ε_{i j}^{p l}$ )引入弹性能密度公式中：

f_{e l} = \frac{1}{2} C_{i j k l} ({\bar{ε}}_{k l} + δ ε_{k l} - ε_{k l}^{*} - ε_{i j}^{p l}) ({\bar{ε}}_{i j} + δ ε_{i j} - ε_{i j}^{*} - ε_{i j}^{p l})

(12)

在晶体塑性理论框架中，塑性应变由位错滑移引起，塑性应变率张量( ${\dot{ε}}_{}^{p l}$ )可表示为所有激活滑移系上的剪切速率之和^[37,38]：

{\dot{ε}}_{}^{p l} = \sum_{α = 1}^{N} {\dot{γ}}^{α} m^{α}

(13)

{\dot{γ}}^{α} = {\dot{γ}}_{0} {(\frac{σ : m^{α}}{τ_{c}^{α}})}^{n} s i g n (τ^{α})

(14)

式中， ${\dot{γ}}_{0}$ 为初始塑性剪切率， ${\dot{γ}}^{α}$ 为位错的剪切率，n为应变敏感指数， $m^{α}$ 为Schmid张量因子， σ 为应力张量，τ^α 为有效分切应力， $τ_{c}^{α}$ 为临界分切应力，N为总的滑移系数量，α为当前滑移系。

在316系列奥氏体不锈钢中，临界分切应力主要与固溶元素的摩擦应力( $τ_{s}$ )，位错相互作用形成局部阻碍产生的切应力( $τ_{f o r e s t}^{α}$ )，以及晶界阻碍位错运动形成的切应力( $τ_{H P}$ )相关^[39]：

τ_{c}^{α} = τ_{s} + τ_{f o r e s t}^{α} + τ_{H P}

(15)

τ_{s} = 43 - 0.055 T

(16)

τ_{f o r e s t}^{α} = μ b \sqrt[]{\sum_{β} a^{α β} (ρ_{M}^{β} + ρ_{I M}^{β})}

(17)

τ_{H P} = \frac{μ}{μ (300 K)} \frac{K_{H P}}{M \sqrt[]{d_{g r a i n}}}

(18)

式中，μ为剪切模量，μ(300K)表示300 K下的剪切模量，b为Burgers矢量模，a^αβ 为描述不同滑移系(α、β)位错交互作用强度的系数^[40]， $ρ_{M}^{β}$ 和 $ρ_{I M}^{β}$ 分别为可动位错和不可动位错密度，K_HP为材料的Hall-Petch常数，d_grain为晶粒尺寸，M为Taylor因子(fcc结构取3.06)。

位错密度的演化采用如下公式进行计算^[41]：

{\dot{ρ}}_{M}^{α} = \frac{k_{m u l}}{b} \sqrt[]{\sum_{β} ρ_{M}^{β}} |{\dot{γ}}^{α}| - \frac{2 R_{c p}}{b} ρ_{M}^{α} |{\dot{γ}}^{α}| - \frac{β_{p} \sqrt[]{ρ^{α}}}{b} |{\dot{γ}}^{α}|

(19)

{\dot{ρ}}_{I M}^{α} = \frac{β_{p} \sqrt[]{ρ^{α}}}{b} |{\dot{γ}}^{α}| - k_{r e c o v} ρ_{I M}^{α} |{\dot{γ}}^{α}|

(20)

式中， ${\dot{ρ}}_{M}^{α}$ 和 ${\dot{ρ}}_{I M}^{α}$ 分别为可动位错和不可动位错密度的演化；式(19)右侧第一项表示可动位错的增殖，k_mul为描述可动位错增殖的常数；式(19)右侧第二项表示可动位错的湮灭，R_cp为位错湮灭的捕获半径；式(19)右侧第三项表示可动位错被障碍物捕获，β_p为描述可动位错被障碍物捕获的常数，ρ^α 为该滑移系的总位错密度；式(20)右侧第一项表示由于可动位错被捕获所导致的不可动位错密度的增加量；式(20)右侧第二项表示不可动位错的动态回复项，由热激活过程驱动，k_recov为描述不可动位错动态回复的常数。

2.3 相场控制方程

He泡相场演化的控制方程包括控制空位和He原子扩散的Cahn-Hilliard方程^[42,43]和控制界面迁移的Allen-Cahn方程^[44]：

\frac{\partial c_{v}}{\partial t} = V_{m} \nabla M_{v} \nabla \frac{δ F}{δ c_{v}} + ξ_{v} + g_{v}

(21)

\frac{\partial c_{g}}{\partial t} = V_{m} \nabla M_{g} \nabla \frac{δ F}{δ c_{g}} + ξ_{g} + g_{g}

(22)

\frac{\partial η_{b}}{\partial t} = - L_{b} \frac{δ F}{δ η_{b}} + ξ_{η}

(23)

式中，M_v和M_g分别为空位和He原子的化学迁移率；L_b为界面迁移率； $ξ_{v}$ 、 $ξ_{g}$ 和 $ξ_{η}$ 分别为空位浓度场、He原子浓度场和序参数场的噪声项；g_v和g_g分别为辐照过程产生空位和He原子的速率。

化学迁移率是与扩散系数相关的参数：

M_{v} = \frac{D_{v}}{R T}

(24)

M_{g} = \frac{D_{g}}{R T}

(25)

式中，D_v和D_g分别为空位和He原子的扩散系数。

2.4 He泡的离散形核模型

尽管式(21)~(23)构建了He泡演化的动力学方程，但在相场模型中，形核并不是一个自发现象。相场模型中有两种常用的方法描述形核现象^[45]：一是通过在演化方程中加入随机噪声项，模拟相场变量的热起伏，从而引发均匀形核，形核后则关闭噪声项；二是基于经典形核理论确定形核的概率与位置，显式地在相场模型中引入晶核。

经典形核理论中，局部形核概率(P_n)的表达式为：

P_{n} = 1 - e x p (- J^{*} Δ t)

(26)

式中，J^*为局部形核速率，Δt为模拟时间步长。

J^{*} = k_{n 1} e x p (\frac{- k_{n 2}}{Δ c})

(27)

式中，k_n1和k_n2为调控形核速率的常数，Δc为浓度的过饱和度。

在显式形核算法中，在每个模拟时间步针对每一个模拟单元计算形核速率和形核概率，通过比较形核概率与随机数(R_n)来确定模拟体系内某一位置是否发生形核，当P_nR_n时，则在该模拟时间步引入晶核^[46]：

F_{n} (r, t) = \{\begin{matrix} F_{0} & (|r - r_{0}| \leq r_{n} - L_{n} / 2) \\ \frac{F_{0}}{2} \{1 + c o s [π (\frac{|r - r_{0}| - r_{n} + L_{n} / 2}{L_{n}})]\} & (r_{n} - L_{n} / 2 |r - r_{0}| r_{n} + L_{n} / 2) \\ 0 & (|r - r_{0}| \geq r_{n} + L_{n} / 2) \end{matrix}

(28)

式中，F_n为形核函数，F₀为常数，r_n为晶核半径，L_n为晶核的界面宽度， r₀为晶核的中心位置。该形核函数保证了引入的晶核具有相场模拟扩散界面的特征，且在晶核内部和外部分别具有不同的相场变量大小。

2.5 数值算法及模拟参数

本工作采用耦合晶体塑性的相场模型对辐照条件下316H钢母材和其焊缝金属中He泡的演化开展研究。图4为相场与晶体塑性耦合计算流程。其中，相场控制方程采用Chen和Shen^[47]提出的半隐式Fourier谱方法求解，在He泡的演化过程中，模拟体系始终保持应力平衡状态， $\partial σ_{i j} / \partial r_{j} = 0$ (其中，σ_ij 和r_j 分别表示应力张量分量和空间矢量分量)。本工作采用Moulinec和Suquet^[48]提出的Fourier谱方法求解力学平衡方程。对于晶体塑性本构模型，则在Moulinec和Suquet^[48]提出的框架中进一步引入塑性应变，基于Newton-Raphson (N-R)迭代法快速求解塑性应变，具体算法见文献[49]。

图4

图4 相场和晶体塑性耦合计算流程

Fig.4 Flow chart of phase field and crystal plasticity simulation of He bubbles

本工作所涉及的参数主要包括He泡相场模型中的热力学参数、辐照参数以及晶体塑性模型中的力学行为参数。He泡形核与演化的热力学参数均从He泡相场模拟的文献或原子尺度计算的文献中获得(表2^[12,32~34])。对于辐照参数，为了保证He泡内部不产生辐照点缺陷，辐照空位和He原子产生项的表达式为：

g_{v} = g_{v}^{0} j (η_{b})

(29)

g_{g} = g_{g}^{0} j (η_{b})

(30)

式中， $g_{v}^{0}$ 和 $g_{g}^{0}$ 分别为基体中产生空位和He原子的恒定值。 $g_{g}^{0}$ 的取值参考He⁺辐照实验过程中He原子的产生速率，约2.0 × 10^-6 s^-1。但对于空位的产生速率，尚未见明确的计算模型。此外，针对本工作研究对象316H钢及其焊缝金属，前期研究工作中的速率理论计算^[12]表明，位错作为“偏置缺陷阱”吸收间隙原子和空位的数量不相等，高位错密度的焊缝金属偏置吸收间隙原子的情况下会导致空位过剩，即焊缝中的空位浓度会高于母材。因此，本工作参考Aagesen等^[50]的工作，将基体中空位的产生速率设置为 $g_{v}^{0}$ = (6~15) $g_{g}^{0}$ ，并讨论该参数对He泡演化的影响，从而揭示316H钢母材和焊缝金属中空位浓度差异条件下He泡的演化机制。此外，白菊菊等^[11]研究表明，焊缝中存在的大量位错线扩散通道，能够促进He泡长大。为了描述316H钢母材和焊缝金属中扩散的差异，有效扩散系数(D_eff)根据下式进行修正^[51]：

D_{e f f} = D_{b u l k} + ρ b^{2} D_{p i p e}

(31)

式中，D_bulk为在基体中的扩散系数，D_pipe为沿位错线的扩散系数，ρ为材料内部位错密度。基于Stechauner和Kozeschnik^[52]针对fcc Fe中基体和位错线扩散系数的研究结果，焊缝金属中位错密度为6 × 10¹³ m^-2时的有效扩散系数为316H钢母材中位错密度为1 × 10¹² m^-2时的6倍，本工作对间隙原子的扩散和空位的扩散采用同样的处理，即，(M_v)_weld = 6(M_v)_base，(M_g)_weld = 6(M_g)_base，(M_v)_weld和(M_v)_base分别表示焊缝金属和316H钢母材中空位的化学迁移率，(M_g)_weld和(M_g)_base分别表示焊缝金属和316H钢母材中He原子化学迁移率，为简化表达，后文写成(M_v,g)_weld与(M_v,g)_base。除上述两组参数外，He泡相场模型中316H钢母材和焊缝金属的参数均保持一致。

晶体塑性模型中的参数(表3)包括临界分切应力和位错模型中的参数。临界分切应力模型中的参数根据316系列不锈钢晶体塑性的文献^[24,39,53]确定。位错模型中的4组参数则根据Sedighiani等^[54]提出的由宏观应力-应变曲线拟合的方法确定。

表3 晶体塑性模型参数

Table 3 Parameters used in crystal plasticity model

Parameter	Value	Unit
K_HP^[39]	1.1	MPa· $\sqrt[]{m}$
d_grain	50 (base), 100 (weld)	μm
ρ	1 × 10¹² (base), 6 × 10¹³ (weld)	m^-2
${\dot{γ}}_{0}$ ^[24]	1 × 10^-3	s^-1
n^[53]	5	-
k_mul	0.03 (base), 0.02 (weld)	-
R_cp	2 × 10^-9	nm
β_p	0.015 (base), 0.01 (weld)	–
k_recov	200	–
C₁₁, C₁₂, C₄₄	157, 114, 99	GPa
μ^[39]	88 - 3 × 10^-5T² - 5.6 × 10^-3T	GPa

Note:K_HP—Hall-Petch constant; d_grain—grain size; ρ—dislocation density; $γ ˙ 0$ —initial plastic shear rate; n—stress exponent; k_mul—dislocation multiplication constant; R_cp—critical capture radius; β_p—dislocation trapping constant; k_recov—dislocation recover constant; C₁₁, C₁₂, C₄₄—elastic constants; μ—shear modulus; base—316H base metal, weld—316H weld metal, T—temperature

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3 结果与讨论

3.1 模型验证与讨论

对于He泡相场的第一个验证案例，一个直径为0.3 nm的团簇在模拟开始时被放置在模拟体系的中心，模拟体系尺寸为9.6 nm × 9.6 nm，如图5a所示，图中t^* 表示无量纲时间。周围的基体设置过饱和的空位和He原子，以支持He泡的生长。空位和He的初始浓度分别设置为0.1和0.01，远高于热平衡浓度。图5a~c和d~f分别为He和空位浓度场的演化过程。由于从He泡周围的基体中不断吸收He原子和空位，He泡尺寸逐渐增大。Millett等^[17]指出，He泡尺寸的增大主要受空位向He泡中的扩散控制。图5g~i进一步展示了He和空位沿中心线的浓度分布。可以看出，He泡在早期阶段包含高于平衡浓度的He原子(图5h)，表明He泡处于高压状态。同时在He泡长大的过程中，在He泡界面附近形成明显的空位浓度的不均匀分布，这意味着空位不断向He泡中扩散支持He泡的长大。随着尺寸的增加，He泡内的He浓度下降(图5i)，这与式(5)的理论结果保持一致。图5i中He泡内部的He平衡浓度为0.265，与Wen等^[33]的计算结果一致。

图5

图5 过饱和基体中单个He泡的演变

Fig.5 Evolution of a single bubble in the supersaturated matrix (The color bar implies the values of He concentration (c_g) and vancay concentration (c_v), the same in Fig.6; Δx^*—dimexsionless length scale)

(a-c) He concentration fields under t^* = 0 (a), t^* = 10 (b), and t^* = 80 (c) (t^*—dimensionless time) (d-f) vacancy concentration fields under t^* = 0 (d), t^* = 10 (e), and t^* = 80 (f) (g-i) profiles of He and vacancy concentrations across the He bubble under t^* = 0 (g), t^* = 10 (h), and t^* = 80 (i)

He泡相场的第二个验证案例模拟了辐照过程中He泡的演化过程，模拟体系尺寸为38.4 nm × 38.4 nm。图6展示了He泡的动力学演化过程，其中图6a~d为He浓度场的演化，图6e~h为空位浓度场的演化。随着He⁺的持续注入和空位浓度的增加，He泡在过饱和空位和He浓度条件下均匀形核。在过饱和基体中空位和He原子的净通量作用下，He泡持续生长。在后期，He泡通过两种典型机制发生粗化：合并粗化(图6h中A处)和Ostwald熟化(图6g中B处)，这与实验结果^[55]保持一致。

图6

图6 辐照条件下多个He泡的演变

Fig.6 Evolutions of multiple He bubbles under irradiation

(a-d) He concentration fields under He concentrations of 0.007 (a), 0.01 (b), 0.015 (c), and 0.04 (d) (e-h) vacancy concentration fields under He concentrations of 0.007 (e), 0.01 (f), 0.015 (g), and 0.04 (h) (The circular area B in Fig.6g implies the Ostwald ripening and the elliptical area A in Fig.6h implies the coalescence)

图7对He泡演化进行了定量分析。根据占比分数曲线可以将He泡演化分为3个阶段：Ⅰ 形核孕育阶段，Ⅱ 形核生长阶段，Ⅲ 粗化阶段。在形核孕育阶段，基本观察不到He泡；随着辐照过程的进行，基体的空位和He浓度达到形核条件，He泡占比和数量迅速增加，迅速消耗基体中过饱和空位与He原子，因此在形核生长阶段的后期基本不再形核，从而进入粗化阶段；在粗化阶段，He泡占比增加速率减缓，已存在的He泡持续吸收空位生长，He泡尺寸持续变大。相邻较近的He泡还会合并长大，且较大的He泡会以较小的He泡为代价发生Ostwald熟化，因此粗化阶段He泡数量有所下降。此外，根据Millett^[16,17]等和Ding等^[56]的研究结果，辐照过程中空洞与He泡的形核生长可以用经典的Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov (JMAK)方程描述：

p (t) = p^{0} \{1 - e x p [- k_{p} (t - t^{0})^{n_{p}}]\}

(32)

式中，p表示He泡占比，p⁰表示形核生长阶段结束时的He泡占比，k_p和n_p为特征常数， $t^{0}$ 为形核生长的起始时间。从图7的拟合曲线可以看出，相场模拟的形核生长阶段的动力学完全符合经典JMAK理论，其中n_p = 3，表明在第Ⅱ阶段He泡持续形核与长大，与Millet等^[16,17]的研究结果一致，进一步验证了模型的合理性。

图7

图7 辐照条件下He泡占比和数量的演化

Fig.7 Evolution of porosity and number of He bubbles under irradiation (The area Ⅰ is nucleation incubation stage, area Ⅱ is nucleation and growth stage, and Ⅲ is coarsening stage. JMAK—Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov)

图8a对比了He泡形核后基于不同方法计算的He泡内压演化，包括EOS状态方程^[31]、毛细压力方程^[34]以及应力应变求解。3种计算方法下的He泡内压演化均呈现出先快速下降后逐渐饱和的演化趋势，表明了He泡演化相场模型的自洽性。相场模拟得到的最终He泡平均内压约为3 GPa，该数值与分子动力学模拟结果^[57]一致。在形核阶段，小尺寸的He泡中高密度的He原子导致极高的内压，随着辐照过程的进行，He泡尺寸的增加导致He泡内部的He浓度下降并接近稳定状态(图8b)，He泡内压随之下降并稳定。以上结果表明，本工作所构建的相场模型可以表征辐照条件下He泡的形核与生长过程。

图8

图8 He泡生长过程中的内压演化及He浓度演化

Fig.8 Pressure evolution (a) and He concentration evoution (b) inside the He bubble during the growth of He bubble (EOS—equation of state)

3.2 316H钢母材和焊缝金属中He泡演化

本节主要开展316H钢母材和焊缝金属中He泡的演化研究，并将相场模拟结果与前期550 ℃下316H钢母材和焊缝金属的He⁺辐照实验结果进行直接对比。二维模拟区域尺寸为30.7 nm × 30.7 nm，对于316H钢母材 $g_{v}^{0} = 6 g_{g}^{0}$ ，对于焊缝金属 $g_{v}^{0} = 12 g_{g}^{0}$ 。图9对比了相场模拟得到的He泡微观结构与实验结果。相场模拟既描述了辐照过程中He泡尺寸的变化，也有效地再现了He泡均匀分布的特征。当He浓度为0.01时，316H钢母材和焊缝金属中的He泡平均直径约为1 nm，难以通过TEM识别。借助相场模拟在空间分辨率方面的优势，能够清晰地观察到辐照初期的He泡。

图9

图9 相场模拟与实验的He泡微观组织对比

Fig.9 Comparison of He bubble microstructures between experiment (a-d) and phase field simulation (a1-d1)

(a, a1, b, b1) He bubble in 316H steel under the He concentrations of 0.01 (a, a1) and 0.04 (b, b1)

(c, c1, d, d1) He bubble in 316H WM under the He concentrations of 0.01 (c, c1) and 0.04 (d, d1)

图10a和c分别定量对比了不同He浓度下，316H钢母材和焊缝金属He泡尺寸演化的相场模拟与实验结果。可见，相场模拟预测的He泡尺寸与实验结果吻合良好。316H钢母材与焊缝金属中He泡尺寸演化规律类似，但316H钢母材中He泡的形核要晚于焊缝金属(图9a1和c1)。在辐照初期低He浓度下，He泡形核后尺寸会快速增加，随着辐照损伤增加，尺寸增加变缓。模拟预测的He泡尺寸在辐照初期快速增加的现象也与相关的实验结果^[58]一致。图10b和d分别对比了316H钢母材和焊缝金属在He浓度为0.04时，He泡平均直径分布的相场模拟与实验结果。对于316H钢母材，相场模拟的平均直径分布的峰值为2.0 nm，实验结果平均直径分布的峰值为1.6 nm；对于焊缝金属，相场模拟的平均直径分布的峰值为3.5 nm，实验结果平均直径分布的峰值为3.5 nm。综上所述，由相场模拟得出的He泡尺寸演化和He泡尺寸分布均与实验结果具有较好的一致性。

图10

图10 316H钢母材的焊缝金属He泡直径及其分布的相场模拟与实验定量统计对比

Fig.10 Quantitative statistical comparisons of diameter evolution (a, c) and diameter distribution (He concentration is 0.04) (b, d) of He bubbles in 316H steel (a, b) and 316H WM (c, d)

为了进一步揭示焊缝金属中He泡尺寸明显增加的物理机制，本工作计算了不同空位与He原子比例下的He泡演化(图11a~d)，同时还计算了不考虑316H钢和焊缝金属扩散差异时的He泡演化(图11e~h)。首先，在任一扩散条件下(图11a~d或图11e~h)，随着空位相对He浓度的比例增高，He泡的尺寸均表现出明显的增大趋势。这表明，由位错优先吸收间隙原子而导致的空位过剩，是促进He泡长大的一个驱动力，更多的空位向He泡中扩散可以显著促进He泡的形核与生长，最终高空位浓度的体系具有更高的He泡占比(图11i)，这与Millett等^[17]的研究结果一致。此外，考虑316H与焊缝金属扩散差异时，焊缝中由高位错密度引起的扩散加速，显著地促进了He泡尺寸的增加(图11j)。同时，对比图11i中不同扩散条件下的He泡占比演化可以看出，扩散能力的提高并没有改变最终的He泡占比。较快的扩散一方面可以使He泡快速达到形核条件，另一方面可以在生长的过程中使得He泡快速地吸收空位和He原子实现He泡的快速生长。扩散较慢时，形核时间较迟，因此有更多的区域可以满足形核条件，导致He泡数量较多(图11a和e)，在生长过程中又由于扩散的限制难以通过快速合并和粗化实现He泡的生长，因此相同空位和He原子比例下，扩散较慢时的He泡尺寸较小。综上所述，单一地考虑扩散或空位与He原子的比例均不能有效地解释焊缝金属中He泡尺寸明显增大，其是由焊缝中高密度位错造成的空位浓度过剩和快速扩散共同主导的。

图11

图11 不同空位与He原子比例以及不同扩散条件下的He泡演化及其占比和尺寸变化

Fig.11 He bubble under different ratios of vacancy to He concentration and diffusion conditions ((M_v,g)_base and (M_v,g)_weld are the chemical mobilities of vacancy and He atom in 316H steel and 316H WM, respecyively; $g_{v}^{0}$ and $g_{g}^{0}$ are the production rates of vacancy and He atom during irradiation, respectively)

(a-d) He bubble evolutions under the values of $g_{v}^{0}$ / $g_{g}^{0}$ are 6 (a), 9 (b), 12 (c), and 15 (d) with (M_v,g)_weld = 6(M_v,g)_base (e-h) He bubble evolutions under the values of $g_{v}^{0}$ / $g_{g}^{0}$ are 6 (e), 9 (f), 12 (g), and 15 (h) with (M_v,g)_weld = (M_v,g)_base (i, j) porosity (i) and diameter (j) under different conditions

3.3 He泡对力学性能的影响

为了研究He泡对弹塑性变形的影响，本工作分别研究了He泡占比和尺寸对单轴拉伸应力-应变曲线的影响，其中，研究He泡占比(0.6%、5%和10%)时保持He泡平均直径约为2.0 nm (图12a~c)，研究He泡尺寸(1.1、1.4和2.0 nm)时保持He泡占比约为10% (图12d~f)。在拉伸模拟过程中，沿y轴方向施加均匀应变，应变率为2.5 × 10^-4 s^-1，最大拉伸应变设置为4%，由于拉伸时间相对He泡演化的时间较短，因此拉伸模拟过程中并未考虑He泡的演化。

图12

图12 不同He泡占比与尺寸的He泡微观组织

Fig.12 Microstructures of system with the He bubble porosities of 0.6% (a), 5% (b), and 10% (c) and system with the He bubble diameters of 1.1 nm (d), 1.4 nm (e), and 2 nm (h)

图13给出了550 ℃不同He泡占比和尺寸条件下316H钢母材和焊缝金属的应力-应变曲线，同时图13a和c中还给出了不含He泡体系的316H钢母材和焊缝金属的实验与模拟结果。本工作重点研究He泡微观组织对316H钢母材和焊缝金属微观变形的影响，在辐照材料的拉伸模拟过程中未考虑辐照缺陷对屈服强度的影响。通过对比可见，基于晶体塑性模拟的应力-应变曲线与实验结果表现出良好的一致性。焊缝金属在快速凝固和冷却过程中的凝固收缩、热收缩以及膨胀会引入残余应力，形成高密度的位错，因此，原始焊缝金属的屈服强度明显高于316H钢母材，550 ℃下焊缝金属和316H钢母材的屈服强度分别约为350和150 MPa。对比不含He泡与含He泡的应力-应变曲线(图13a和c)，随着He泡占比的增加，应力-应变曲线弹性段的斜率(即弹性模量)有所下降，这是因为模型中He泡的弹性常数远小于基体的弹性常数。由于He泡内压造成的晶格错配会导致在模拟开始时存在负值的残余应力，因此在外加应变为0时，整体应力为负值，且随着He泡占比的增加，负值的偏移量越大，这与Hu和Beeler^[23]的研究结果一致。He泡占比为0.6%、5%和10%时，316H钢母材中负值的偏移量分别为-16、-122和-211 MPa；焊缝金属中负值的偏移量分别为-16、-135和-286 MPa。在He泡占比为0.6%时，316H钢母材和焊缝金属整体的应力响应与不含He泡体系的应力响应基本没有区别。随着He泡占比增加至5%和10%，在应变初期(图13a中A，图13a中B处)，整体的应力响应明显低于不含He泡体系的应力响应，表明He泡的内压和外应变共同主导了这一阶段的应力/应变行为。He泡内部的高压在宏观上表现为一个压缩性的“预应力”或“本征应变”，因此在拉伸初期，外加的拉伸应力需要先抵消这部分内压的影响，导致宏观应力较低。在应变后期，应力响应与不含He泡体系的应力响应仅有微小的差别，其数值略大于不含He泡体系的应力，这是因为He泡内压导致He泡附近发生塑性变形而造成应变硬化。在应变后期，外应变主导作用会明显大于He泡内压的作用。对比316H钢母材与焊缝金属可以发现，焊缝金属中负值的偏移量大于316H钢母材，这是由于316H钢母材的屈服强度较低，在相同的He泡内压条件下会发生较大的塑性变形，从而降低了He泡对应力-应变曲线的影响。而焊缝金属屈服强度较高，难以发生塑性变形，He泡对应力的影响被完整地保留下来。从图13a和c中的A点和B点也可以看出，在316H钢母材中，He泡对应力-应变曲线起主导作用的外应变区间为0~0.6%；而在焊缝金属中，He泡对应力-应变曲线起主导作用的外应变区间为0~1.6%。此外，从图13b可以看出，He泡尺寸在4%的外应变范围内对应力-应变曲线基本没有影响。

图13

图13 He泡占比和尺寸对应力-应变曲线的影响

Fig.13 Effects of He bubble porosity (a, c) and size (b, d) in 316H steel (a, b) and 316H WM (c, d) on stress-strain curves unde 550 ^oC (The circular areas in Figs.13a and c imply the applied strain begins to dominate the mechanical response)

以He泡占比为10%的模拟体系进一步研究拉伸过程中的应力(S₂₂)和塑性应变( $ε_{22}^{p l}$ )分布，图14给出了外应变为0.04%和4%时316H钢母材和焊缝金属中的S₂₂及对应的 $ε_{22}^{p l}$ 分布。总体而言，相比于基体中的应力，He泡与基体界面周围出现了显著的应力集中，相应地，应力集中处也发生了较大的塑性变形，特别是在两个相邻He泡中间形成了较为明显的变形带。由于He泡内部存在较高的内压，尽管在很小的外应变条件下(0.04%)，基体中仍产生了较为明显的塑性变形(图14c和g)，焊缝金属(图14g)中塑性变形程度要低于316H钢母材(图14c)，这是由于焊缝金属中的高位错密度对位错滑移产生更大的阻碍。塑性变形会在一定程度上减轻局部的应力集中，因此，316H钢母材中He泡界面处的应力集中要小于焊缝金属。外应变为0.04%条件下，316H钢母材和焊缝金属He泡界面处的应力分别约为250和450 MPa；同时，He泡内部由于内压仍处于负的应力状态，这与图13应力-应变曲线中负的应力值是自洽的。随着外应变增加至4%，He泡界面处的应力集中进一步增加，316H钢母材和焊缝金属中的应力分别约为600和900 MPa。此时，塑性变形更加明显，316H钢母材基体中塑性变形程度大于焊缝金属，其原因与外应变0.04%时一致。但焊缝金属中He泡之间的塑性变形带(图14h中B处)的变形程度明显大于316H钢母材中塑性变形带(图14d中A处)，焊缝金属中为0.058，316H钢母材中为0.044，表明焊缝金属在变形过程中发生了更加明显的变形局域化现象。316H钢母材的初始位错密度较低，在变形过程中，位错可以在晶粒内较为均匀地增殖和滑移，同时产生明显的加工硬化效应，这种加工硬化能力使得变形能够更均匀地分布于整个材料中。而焊缝金属中初始位错密度较高，材料加工硬化能力低^[59]，塑性变形过程中位错相互湮灭形成“软化”的通道，后续的位错滑移则集中在“软化”通道中，导致显著的塑性变形带(图14h中B处)，与辐照材料中的位错通道的形成机制类似^[60]。综上所述，He泡的存在改变了拉伸过程中材料内部的局部应力状态与塑性变形行为，在应力集中的界面附近将诱发裂纹的形核，而相邻He泡则为裂纹扩展提供了优先路径，最终加速材料的失效。

图14

图14 316H钢和焊缝金属变形过程中的应力和塑性应变分布

Fig.14 Stress (S₂₂, GPa) (a, b, e, f) and plastic strain ( $ε_{22}^{p l}$ ) (c, d, g, h) distributions during the deformation process of 316H steel (a-d) and 316H WM (e-h) (The elliptical areas A and B in Figs.14d and h imply the bands of plastic deformation)

(a, c, e, g) 0.04% strain (b, d, f, h) 4% strain

上述研究结果对于焊接接头在先进核能系统服役环境下的寿命评估和结构完整性分析具有一定参考价值。但需要指出的是，考虑到多场耦合的数值计算效率，本工作采用的是二维相场模拟，未能完全再现真实三维空间中He泡的演化特征。未来工作中，可以进一步发展三维多尺度模拟方法，并结合原位实验验证，更全面地揭示He泡演化行为及其力学效应。此外，可以进一步耦合断裂模型，定量表征辐照缺陷诱发的裂纹萌生与扩展过程，从而为焊接接头在极端环境下的失效机理与寿命预测提供更加可靠的理论依据。

4 结论

(1) 基于相场和晶体塑性理论构建了316H钢和焊缝金属中辐照He泡演化的相场模型。He泡演化可以分为形核孕育阶段、形核生长阶段以及粗化阶段。在初期，He泡通过不断吸收基体中的过饱和空位和He原子形核生长；在后期，则通过合并与Ostwald熟化进行粗化。随着He泡尺寸的增加，He泡内压逐渐下降至平衡态。

(2) 焊缝金属中高密度位错偏置吸收间隙原子导致空位浓度过剩以及位错作为快速扩散通道，共同导致了He泡的快速生长。随着空位浓度由 $g_{v}^{0} = 6 g_{g}^{0}$ 提高到 $g_{v}^{0} = 12 g_{g}^{0}$ ，He泡的平均直径由2.2 nm增加至3.8 nm。扩散能力的提高并不会改变最终的He泡占比，而是通过加快形核与生长促进了焊缝金属中He泡演化的动力学过程。

(3) 拉伸过程中，He泡与基体界面周围出现了显著的应力集中，相应地，应力集中处也发生了较大的塑性变形，特别是在两个相邻He泡中间形成了较为明显的变形带。在弹性阶段，由于焊缝金属中高位错密度对位错滑移产生更大的阻碍，焊缝金属中塑性变形程度低于316H钢母材。外应变增加至4%时，由于变形局域化，焊缝金属中He泡之间的塑性变形带中的变形程度高于316H钢母材。

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