基于界面追踪-动网格技术模拟凝固收缩下Fe-C合金宏观偏析

图1 10.5 t钢锭的2D计算域

Fig.1 2D configuration of 10.5 t ingot and corresponding boundary conditions (x, y—axes; h₁, h₂, h₃, h₄—heat transfer coefficients at bottom, side wall, neck part, and riser, respectively)

铸型底边冷却系数h₁：

h_{1} = 300 W / (m^{2} \cdot K)

(11)

铸型侧面冷却系数h₂：

h_{2} = \{\begin{matrix} 300 \\ 300 - 125 y \end{matrix} \begin{matrix} (t \leq 1000 s) \\ (t > 1000 s) \end{matrix}

(12)

铸型颈部冷却系数h₃：

h_{3} = \{\begin{matrix} 300 \\ 100 \\ 50 \end{matrix} \begin{matrix} (t \leq 50 s) \\ (50 s < t \leq 1000 s) \\ (t > 1000 s) \end{matrix}

(13)

铸型冒口冷却系数h₄：

h_{4} = \{\begin{matrix} 300 \\ 16 \\ 64 - 26.7 y \end{matrix} \begin{matrix} (t \leq 50 s) \\ (50 s < t \leq 1000 s) \\ (t > 1000 s) \end{matrix}

(14)

1.4 求解步骤及收敛条件

采用SIMPLE算法求解各守恒方程，在每一个时间层上，计算流程如下：

(1) 根据上个时间层得到的速度场耦合压力场求解动量方程(其中，竖直方向上存在的热-溶质浮升力项，通过自编程序(user-defined functions，UDF)加到y方向动量方程中)；

(2) 求解压力修正方程，得到修正后的速度场和压力场；

(3) 求解能量方程，得到焓场；

(4) 求解溶质方程，得到溶质场；

(5) 通过耦合杠杆定律求解出温度和液相分数场；

(6) 通过液相分数场确定铸锭顶端凝固壳厚度，进而自编程序确定凝固体积收缩后界面节点位移量；结合动网格界面追踪技术重新划分体积收缩后铸锭计算区域及计算单元。

计算用时间步长依据稳定性条件确定。设置各时间层的修正压力、动量、能量和溶质方程的收敛标准为控制方程残差低于10^-5 $,$ 每个时间步内各场最大迭代次数设为40。全场液相分数为0时计算终止。

2 动网格界面追踪模型

铸锭顶部收缩界面，利用Fluent软件中的Liner动网格技术^[26]结合UDF进行追踪。首先依据凝固收缩量自编程确定铸锭顶端边界处节点位移后的坐标，再用Liner动网格技术求解计算域内部节点坐标。由于所研究铸锭的几何模型及冷却条件以x = 0为轴对称，对顶端收缩界面的处理，仅以铸锭左侧壁附近区域为例，给出直角坐标系下收缩界面方程组。

依据全场固相分数的演变，将凝固收缩过程中铸锭顶部界面的变化分为2个阶段。

第I阶段：凝固初开始，熔体在铸型壁顶部尚未形成凝固壳，此时，随着熔体在铸型底部和侧壁的凝固，产生体积收缩，熔体顶部液面整体下降。

此阶段顶部界面各节点统一向下运动相同位移量，单元(i, j)节点y坐标更新为y_{i, j} ：

y_{i, j} = y_{m a x} - \frac{V_{β}}{x_{t o p}} (f_{s} < 0.7)

(15)

式中，y_max为计算区域y方向的初始高度；x_top为铸锭顶端面积，二维计算中为铸锭顶端长度；f_s为固相体积分数；V_β 为当前时刻全场体积收缩量：

V_{β} = \sum_{i = 1, j = 1}^{i = n, j = m} (1 - f_{l})_{i, j} (V_{c})_{i, j} β

(16)

式中，V_c为单元网格体积；β为体积收缩率，β = 100% × (ρ_s - ρ_l) / ρ_l (其中，ρ_s和ρ_l分别为合金固、液相密度)。

式(15)的适用条件借鉴了多相流中晶体包络极限值的概念，即等轴晶包络层和柱状晶体积分数之和超过某极限值(采用某固相分数f_s数值)时，认为网格内固体晶体形成一个刚体。文献[22]中极限值采用0.637，本工作采用0.7。

当侧壁最顶端开始凝固，且网格内f_s > 0.7，节点位置更新模式随之改变，界面追踪模式进入第II阶段。

第II阶段：铸型侧壁对熔体的换热积累到一定程度，熔体在铸型壁顶部形成凝固壳，该凝固壳区域静止不动，通过区域搜索获得熔体顶端距左壁面最远的完全凝固单元坐标(x_s, y_s)。未凝固区域的液面随糊状区凝固产生的体积收缩而持续下降，铸锭顶部呈现出由型壁向中心逐渐下陷的形状。

此阶段界面节点位置表达为：

y_{i, j} = a x_{i, j} + b (f_{s} \geq 0.7)

(17)

式中，a和b分别为糊状区顶端收缩界面线性方程的斜率和常数，a和b的数值随着每个时间步收缩区域的改变而更新。

图2为凝固收缩第II阶段铸锭顶端体积变化关系。如图2所示，将此阶段铸锭计算域细分为3部分：(1) 已完全凝固的凝固壳区域A₁，此区域固相速度为0，所以此区域顶端界面节点无位移，见式(17- 1)；(2) 未完全凝固(正在收缩)部分A₂，依据Fe-C合金凝固进程中糊状区范围(0 < f_l < 0.9)取为N个单元宽度的计算域(N ≥ 1)进行收缩计算，设定糊状区铸锭-气交界面呈线性变化，故界面节点纵坐标y依循横坐标x的线性函数更新，见式(17- 2)；(3) 液相区域A₃，此区域界面呈水平面，界面节点y坐标统一为此时层糊状区(A₂区)最低点y值，见式(17- 3)。

图2

图2 凝固收缩第II阶段铸锭顶端体积变化关系

Fig.2 Layouts of volume evolution at ingot top during solidification shrinkage stage II (Δx—cell size in x-direction, x_s—maximum of x-coordinate in solid zone at ingot top, x_mush—maximum of x-coordinate in mushy zone at ingot top, A₁—solidified zone, A₂—mushy zone, A₃—liquid zone, V_s—volume shrinkage at solidified zone, V_mush—volume shrinkage at mushy zone, V_L—volume shrinkage at liquid zone, y₁—maximum of y-coordinate for ingot at end of stage I, N—number of shrinkage mesh, f_l—liquid volume fraction)

(a) N = 1 (b) N = N(0 < f_l < 0.9)

y_{i, j} = \{\begin{matrix} y_{i, j}^{t - Δ t} \\ a x_{i, j} + b \\ a (x_{s} + N Δ x) + b \end{matrix} \begin{matrix} (x_{i, j} < x_{s}) \\ (x_{s} \leq x_{i, j} \leq x_{s} + N Δ x) \\ (x_{i, j} > x_{s} + N Δ x) \end{matrix} \begin{matrix} (17 - 1) \\ (17 - 2) \\ (17 - 3) \end{matrix}

式中，Δt为时间步长，上标t-Δt为上一时间步，x_s为铸锭顶端f_s = 1.0单元横坐标最大值，Δx为x方向单元尺寸。N为参与界面收缩计算的糊状区网格数量，当限定N = 1时，糊状区内仅有紧邻凝固壳区的单网格发生收缩；当取N = N(0 < f_l < 0.9) (N(0 < f_l < 0.9)为糊状区全部网格)时，糊状区全体网格发生收缩。系数a、b由第II阶段顶端收缩体积恒等关系式(18)~(21)求出：

V_{β} - V_{s} = V_{m u s h} + V_{L}

(18)

V_{m u s h} = y_{1} N Δ x - \int_{x_{s}}^{x_{s} + N Δ x} (a x + b) d x

(19)

V_{L} = [y_{1} - a (x_{s} + N Δ x) - b] (x_{t o p} - x_{s} - N Δ x)

(20)

N = (x_{m u s h} - x_{s}) / Δ x

(21)

式中，V_s、V_mush和V_L分别为A₁、A₂和A₃区域顶端收缩体积，x_mush为熔体顶端f_l > 0.9的节点的横坐标最小值，y₁为第I阶段结束时顶端边界单元的纵坐标最大值(见图2)。

对于凝固壳区域顶端收缩体积V_s，由于顶端完全凝固，各单元收缩界面线性函数表达式均不相同，故采用循环累加进行计算，且当顶端完全凝固单元前进一格时才进行数值更新。

第I阶段收缩的总体积V₁见式(22)：

V_{1} = (y_{m a x} - y_{1}) x_{t o p}

(22)

第II阶段顶端完全凝固单元前进一格时，完全凝固区域顶端收缩体积增加量为新凝固单元顶端收缩体积。将第I阶段收缩的总体积包括在内，此阶段收缩的总体积V_s如式(23)所示：

V_{s} = V_{1} + V_{s}^{t - Δ t} + [y_{1} (x_{s} - x_{s}^{t - Δ t}) -

\int_{x_{s}^{t - Δ t}}^{x_{s}} (a^{t - Δ t} x + b^{t - Δ t}) d x]

(23)

式中， $x_{s}^{t - Δ t}$ 是上一时间层顶端气-固界面完全凝固单元横坐标最大值。

联立式(17)~(23)得：

b = y_{s} - a x_{s}

(24)

a = \frac{V_{1} + V_{β} - V_{s} + (x_{s} - y_{1}) (x_{t o p} - x_{s})}{- 0.5 N^{2} Δ x^{2} - N Δ x (x_{t o p} - x_{s} - N Δ x)}

(25)

通过计算获得了当前时刻体积收缩后铸锭顶端与空气交界面处各节点的坐标，即确定了当前时刻体积收缩后的计算区域，进而应用Liner动网格技术重新确定区域内各控制单元和节点坐标。

3 模型验证

基于液-固混相的连续介质模型，使用流体力学仿真软件ANSYS Fluent求解各控制方程，分别模拟了热-溶质浮升力作用下Sn-5%Pb (质量分数，下同)合金、凝固收缩与热-溶质浮升力共同作用下Fe-0.3%C合金铸锭宏观偏析的形成。

3.1 热-溶质浮升力作用下Sn-5%Pb合金宏观偏析的形成

在考虑凝固收缩影响之前，首先采用Sn-5%Pb合金经典算例及实验结果来验证所采用的液-固混相连续介质模型的准确性。采用Sn-5%Pb合金凝固实验条件进行模拟计算：2D模型尺寸0.1 m × 0.06 m，初始温度为499.15 K，除左侧壁与外界对流换热(换热系数为300 W/(m²·K)，环境温度为298.15 K)外，其余三面皆绝热，合金物性参数见表1^[18,30,31]。图3给出凝固进行到400 s时Sn-5%Pb合金的溶质浓度场。由图可见，在热-溶质浮升力共同作用下，液穴呈逆时针方向流动，把界面前沿富集的溶质卷带到右侧液相中，在铸锭中心偏下区域形成通道偏析，右侧液相区域呈现明显的溶质分层，本模拟与Ahmad等^[31]的模拟结果吻合。

表1 模拟合金的物性参数^[18,30,31]

Table 1 Thermodynamic and physical parameters of modelling alloys^[18,30,31]

Parameter	Unit	Sn-5%Pb alloy*	Fe-0.3%C alloy	Ref.
Melting point of pure solvent T_f	K	505.15	1805.15	[30]
Liquidus slope m	K·%^-1	-1.286	-80.45	[30]
Equilibrium partition coefficient k	-	0.0656	0.36	[30]
External temperature	K	298.15	300	[30]
Melt density ρ_l	kg·m^-3	7000	7027	[18]
Solid density ρ_s	kg·m^-3	7000	7324	[18]
Specific heat c_p	J·kg^-1·K^-1	260	500	[30]
Thermal conductivity k_s	W·m^-1·K^-1	55	34	[30]
Latent heat L	J·kg^-1	6.1 × 10³	2.71 × 10⁵	[30]
Viscosity μ	kg·m^-1·s^-1	1 × 10^-3	4.2 × 10^-3	[18]
Thermal expansion coefficient β_T	K^-1	6 × 10^-5	1.07 × 10^-4	[30]
Solutal expansion coefficient β_c	%^-1	-5.3 × 10^-4	1.4 × 10^-2	[30]
Secondary dendrite arm spacing λ₂	m	6.5 × 10^-5	5 × 10^-4	[30]
Diffusion coefficient of C in liquid D_l	m²·s^-1	1 × 10^-8	2 × 10^-8	[18]
Reference temperature T_ref	K	499.15	1782
Reference concentration (mass fraction) c_ref	%	5	0.3
Reference temperature in enthalpy definition T₀	K	273	273
Time step Δt	s	0.1	0.05

Note: * —physical parameters of Sn-5%Pb alloy were all obtained from Ref.[31]

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图3

图3 Sn-5%Pb合金凝固400 s时溶质Pb的相对浓度分布

Fig.3 Relative concentration ((c - c₀) / c₀) distribution of Pb for Sn-5%Pb alloy at 400 s (c—concentration, c₀—initial concentration)

图4进一步比较了Sn-5%Pb合金凝固结束后距底面不同高度截面上的溶质分布。可以清晰看出，距底面0.005和0.025 m高度处的溶质分布存在通道偏析，这与Ahmad等^[31]模拟结果较为相符，而对比Li等^[32]的研究，除在0.005 m高度处的模拟结果并没有出现通道偏析外，其他模拟结果基本一致。对比Hebditch和Hunt^[33]的实验数据，本模拟的溶质分布曲线与实验结果基本吻合，特别在距底面高0.025、0.035和0.055 m处吻合较好；距底面高0.005 m处，本预测曲线与实验数据仅在铸锭右半部截面存在差距，但趋势相符。

图4

图4 Sn-5%Pb合金完全凝固时，距铸型底面不同高度处Pb的相对浓度分布曲线

Fig.4 Relative concentration distributions of Pb for Sn-5%Pb alloy at end of solidification, positioned at height of 0.005 m (a), 0.025 m (b), 0.035 m (c), and 0.055 m (d) (The experimental^[33] and other simulated^[31,32] results are shown in Fig.4)

3.2 凝固收缩与热-溶质浮升力共同作用下Fe-0.3%C合金铸锭宏观偏析

基于液-固混相连续介质模型，耦合Liner动网格技术追踪界面并重构凝固收缩后计算区域，模拟Fe-0.3%C合金铸锭凝固收缩下的宏观偏析形成过程。选用的物性参数如表1^[18,30,31]所示，其中，二次枝晶臂间距λ₂取500 μm^[30]。由Fe-0.27%C合金二次枝晶臂间距经验公式^[34]：

λ_{2} = A_{s} T_{1}^{- n_{2}}

(26)

式中，经验参数A_s = 641 μm，n₂ = 0.35^[34]，T₁为冷却速率，K/min。在模拟过程中监测铸锭y = 1.0 m高度处凝固界面前沿几个连续时刻下的温度，算得T₁ = 1.67 K/min，代入式(26)计算得到λ₂ = 534 μm，与所取数据相符。

计算区域采用文献[19]中铸锭的几何尺寸，本工作采用2D几何模型(图1)，这里对换热条件稍做调整，令前50 s铸型各壁面换热系数均为300 W/(m²·K)，形成初期凝固壳，以达到接近文献中3D模拟的冷却效果。本模型仅针对液-固混相，考虑到钢液上表面存在保护渣层，钢液在顶面的热量损失会很小^[35]，故本节模拟将铸锭顶端设为绝热边界条件。

图5对比了糊状区仅单网格(N = 1)体积收缩以及全部网格N = N(0 < f_l < 0.9)体积收缩处理得到的铸锭偏析模拟结果，并与实验硫印结果^[36]加以对照。由图可见，糊状区收缩网格数量的改变对铸锭截面最终偏析影响不大，但对最终的收缩腔形状有较大影响。糊状区单网格收缩处理的最终收缩腔形状在贴壁附近较陡峭，越到中心越平缓，这是因为凝固前期靠近壁面的熔钢流动性好且凝固快，较大的收缩量堆积到单网格上，使得收缩界面陡峭；到凝固后期，液相区域大大减少，凝固慢，收缩量变小，使得中心线附近收缩界面平缓(图5a)。而糊状区全部网格收缩处理的收缩腔呈现倒三角形(图5b)，这是由于每个时间步的收缩量都会分担到变化的各糊状区网格上，使得收缩腔在凝固前期下降趋势较图5a更为缓和，且与实验结果更为符合。从图6铸锭中心线上溶质分布图可以看出，糊状区收缩网格数量的改变对铸锭底部偏析无影响，而对顶端偏析有所影响，采用糊状区全部网格收缩处理的结果，较糊状区单网格收缩的情形，铸锭顶端偏析从51.83%减少到39.37%，减少了12.46%，更贴近实验数据^[36]。

图5

图5 铸锭凝固结束时相对溶质浓度分布

Fig.5 Relative concentration distributions of C in ingot at end of solidification

(a) N = 1 (b) N = N(0 < ^{f_l^{< 0.9)}}

图6

图6 铸锭中心线上溶质相对浓度分布

Fig.6 Relative concentration distribution of C along ingot centerline (The experimental^[36] and simulated^[19] results are shown in Fig.6)

鉴于此，本文以下分析，均采用糊状区为全部网格体积收缩下的预测结果。

从铸锭凝固结束时全截面溶质C的相对浓度分布云图(图5b)可以看出，铸锭顶端芯部呈现强正偏析，最大正偏析达到+39.37%，而在铸锭下部呈现锥形负偏析，最大负偏析为-2.35%，该趋势与文献[19]模拟结果相符。图6进一步对比了铸锭中心线处本模拟与文献模拟^[19]及实验测量^[36]的相对溶质浓度分布，可以看到本模拟结果在铸锭中上部与实验数据趋势更为吻合。同时，由图5和6也可看到，铸锭下部的锥形负偏析程度低于文献结果。由液-等轴晶-柱状晶三相模型^[16,37]的预测及分析，铸锭底部的强负偏析是由贫溶质的晶粒沉降所导致，而本模型未考虑晶粒运动，因而没能预测出铸锭下部的锥形强负偏析，从而也佐证了晶粒沉降是导致铸锭底部强负偏析的主要因素，也是宏观偏析形成的另一重要因素。

4 Fe-0.3%C合金铸锭宏观偏析结果与讨论

4.1 铸锭收缩腔演变

应用动网格技术进行界面追踪和区域重构获得的收缩腔演变如图7所示，左分图为液相分数场，右分图为相对溶质浓度分布。t = 50 s时(图7a左分图)，侧壁各单元固相分数均低于0.7，认为尚未形成凝固壳，收缩形式处于第I阶段，顶部液面随体积收缩整体水平下降，见图7c中所示的第I阶段顶部水平下降位移量Δy₁。至t = 1050 s (图7b)，换热时间到达一定程度，侧壁形成了凝固壳，收缩形式进入第II阶段，此阶段垂直位移量为Δy₂ (图7c)。随着凝固的进行(图7d和e)，液面逐渐收窄并向中心推进。由图7b左分图示出的冒口附近流场可见，在热-溶质浮升力作用下，界面前沿流动沿壁面上行，并在液面附近流向铸锭中心，带动铸锭顶部界面前沿富集的溶质向铸锭中心迁移(图7b右分图)，该处强正偏析向铸锭中心的延展导致顶部对应区域液相线降低，相应的液相分数场(图7b左分图)中糊状区向铸锭中心扩大，在图7d和e右分图中，这种强正偏析表现得更加明显。由式(11)~(14)不同区域换热系数可知，铸型上部冷却强度低于下部，液穴截面形状逐渐演变为上宽下窄，且在铸型冒口处液穴截面稍有收缩的形状，最后凝固的液芯位于铸锭顶部中心处；最终形成图7f所示的铸锭完全凝固时的收缩腔。

图7

图7 耦合考虑热-溶质浮升力+凝固收缩下收缩腔形成过程

Fig.7 Formation of shrinkage cavity by consideration of shrinkage + buoyancy (left—liquid volume fraction, right—relative concentration distribution of C (t—time)

(a) t = 50 s (b) t = 1050 s

(d) t = 3700 s (e) t = 14200 s (f) t = 22000 s

本模拟得到的顶端收缩腔体积为0.091 m³，为铸型初始熔钢体积的4.06%，如图7f所示，对比铸锭理论计算收缩率β = 100% × (ρ_s - ρ_l) / ρ_l = 4.23%，误差仅为4.02%。

另外，初始时刻全场C溶质总质量分数(所有网格内初始溶质质量浓度的加和 ${\sum_{i = 1, j = 1}^{i = n, j = m} (c}_{0})_{i, j}$ )为23.607，铸锭凝固结束时全场C溶质总质量分数(所有网格内溶质质量浓度的加和 ${\sum_{i = 1, j = 1}^{i = n, j = m} (c)}_{i, j}$ )为23.654，误差只有0.2%，即凝固过程中全场溶质保持质量守恒。

相较于耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力影响(图7)，仅考虑凝固收缩时(图8)的熔钢流动弱，在图8b左分图可以看到，铸型侧壁处界面前沿的速度较微弱，界面前沿析出溶质仅有少量被卷吸到铸锭顶部，导致顶部偏析较小，顶部糊状区宽度没有增加。凝固前期，每个时间层的全场收缩量施加到较窄的糊状区上，使得糊状区收缩界面较为陡峭；而到凝固后期，全场收缩量大为减少，糊状区仍较窄，收缩界面趋于平缓(图8e)，最终形成图8f中上陡下缓的收缩腔。

图8

图8 仅考虑凝固收缩情况下收缩腔形成过程

Fig.8 Formation of shrinkage cavity by consideration of only shrinkage (left—liquid volume fraction, right—relative concentration distribution of C

(a) t = 50 s (b) t = 1050 s (c) t = 3700 s (d) t = 14200 s (e) t = 20000 s (f) t = 25000 s

综上所述，收缩腔的形成受熔钢流动的影响。在耦合考虑热-溶质浮升力时，全场熔钢受到热-溶质浮升力作用，顶部糊状区占比较大，凝固过程中的收缩量施加到较宽的糊状区，最终形成的收缩腔为倒三角形。在仅考虑凝固收缩时，凝固过程中糊状区较窄，最终形成的收缩腔上陡下缓。

4.2 凝固收缩与热-溶质浮升力的影响

4.2.1 对熔钢流动的影响

钢铸锭凝固过程中，界面前沿的钢液时刻受到2种驱动力作用：向下的热浮力和向上的溶质浮力。由表1可知，Fe-0.3%C合金的溶质膨胀系数比热膨胀系数大2个数量级，可以推断，随凝固进行，界面前沿溶质浓度差逐渐增大，溶质浮力的影响将逐渐占据主导。对比仅热-溶质浮升力影响(图9a~d)和凝固收缩耦合热-溶质浮升力影响(图9e~l)下铸锭液穴内旋流形态可以看出，前者溶质浮力对液穴内旋流的影响更早占据主导。凝固进行到300 s，仅考虑热-溶质浮升力影响时(图9a)，铸型壁处界面前沿主流钢液均向下流动，型壁两侧下行流股在铸型底端中心线处相遇，形成主上返流；仅在铸型壁侧面底端出现沿界面前沿上行的贴壁小流股，形成与主流方向相反的贴壁小股涡流。至600 s时(图9b)，此沿界面前沿上行的贴壁流股已然成为主导，由侧壁底端一直上行至铸型收缩颈附近，才与主流股汇合一起向下流动。当耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力影响时，300 s时刻(图9e)全场界面前沿的钢液均向下流动；至600 s时(图9f~h)，铸型内旋流趋势与图9b相同，且全场流速最大值高于图9b，但是沿界面前沿上行流股与下行的主流股相比，占比稍小于图9b的情形。

图9

图9 仅考虑热-溶质浮升力和凝固收缩+热-溶质浮升力、不同时刻的液相分数和速度场

Fig.9 Liquid fractions and velocity distributions (a-f, i, k) and locally enlarged parts (g, h, j, l) during solidification considering buoyancy (a-d) and shrinkage + buoyancy (e-l) at different time (u_{l, max}—the maximum velocity in melt)

(a, e) t = 300 s (b, f-h) t = 600 s (c, i, j) t = 5000 s (d, k, l) t = 20000 s

(g, h) locally enlarged part of Fig.9f (j) locally enlarged part of Fig.9i (l) locally enlarged part of Fig.9k

形成此趋势的原因可由图10和11中300~600 s时凝固界面前沿单位重力下热与溶质浮力的大小对比加以说明。这里，因界面前沿热浮力方向向下，数值为负值，图上取其绝对值与溶质浮力的数值进行比较。由模型中仅考虑热-溶质浮升力的结果可知(图10a~c及其局部放大图10d~f)，300 s时，在界面前沿糊状区中由于溶质富集，已经有很小范围区域内(如图中左侧壁，y = 0.5 m处，x = -0.498~-0.481 m，f_l= 0.723~0.949，液相体积分数变化范围Δf_l =0.226 (图10a和d)；y = 1.0 m处，x = -0.498~-0.481 m，f_l = 0.727~0.954，Δf_l = 0.227 (图10b和e)；y = 1.5 m处，x = -0.498~-0.484 m，f_l = 0.746~0.926，Δf_l = 0.18 (图10c和f))溶质浮力数值高于热浮力，虽然糊状区大部分区域内仍为热浮力占主导地位，界面前沿钢液主体受向下的浮升力作用产生贴壁向下流动，但在铸型壁侧面底端附近已出现了沿界面前沿上行的贴壁小流股；而至600 s时，溶质浮力数值接近热浮力的范围有所扩大，并在局部区域内溶质浮力数值超过热浮力数值而占据主导(图中左侧壁，y = 0.5 m处，x = -0.464~-0.453 m，f_l = 0.796~0.949，Δf_l = 0.153 (图10a和d)；y = 1.0 m处，x = -0.464~-0.453 m，f_l = 0.797~0.949，Δf_l = 0.152 (图10b和e)；y = 1.5 m处，x = -0.478~-0.459 m，f_l = 0.418~0.929，Δf_l = 0.511 (图10c和f))，引起界面前沿钢液受到向上的浮升力作用，而转变为贴壁向上流动，但可以看出，2者浮升力的差值相差无几。对照图11同时刻曲线，在凝固收缩结合热-溶质浮升力作用下，300 s时，界面前沿糊状区内还完全是热浮力占据主导地位，钢液完全受向下的浮升力作用而贴壁向下流动；而至600 s时，糊状区内由于溶质富集，溶质浮力的影响已在大范围内明显超过热浮力而占据主导地位(如图中左侧壁，y = 0.5 m处，x = -0.485~-0.456 m，f_l = 0.308~0.954，Δf_l = 0.646 (图11a和d)；y = 1.0 m处，x = -0.481~-0.462 m，f_l = 0.380~0.906，Δf_l = 0.526 (图11b和e)；y = 1.5 m处，x = -0.485~-0.456 m，f_l = 0.308~0.954，Δf_l = 0.646 (图11c和f))，使得界面前沿钢液受向上的浮升力影响，产生贴壁上返流；而液穴以内，与图10液穴内受力趋势相同，|热浮力|>溶质浮力，致使液穴内主流仍是受向下的浮升力影响而向下流动。对比可知，在凝固收缩结合热-溶质浮升力作用下，受溶质富集影响，溶质浮力影响超过热浮力的转变发生在300~600 s之间，滞后于仅考虑热-溶质浮升力的结果，但受体积收缩影响，溶质富集更明显，导致转变进程反而更快，至600 s，在界面前沿大范围内溶质浮力已经完全碾压了热浮力而占据上风，从而解释了图9a、b与e、f流动趋势的局部差异。

图10

图10 仅热-溶质浮升力作用下不同时刻和位置铸锭中界面前沿溶质浮力与热浮力曲线

Fig.10 Solutal and thermal buoyancy curves (a-c) and locally enlarged parts (d-f) at solidification front in ingot with only consideration of buoyancy at different time in the model (β_c(c_l - c_ref)—solutal buoyancy per gravity, |β_T(T - T_ref)|—absolute value of thermal buoyancy per gravity)

(a, d) y = 0.5 m (b, e) y = 1.0 m (c, f) y = 1.5 m

图11

图11 凝固收缩+热-溶质浮升力作用下不同时刻和位置铸锭中界面前沿溶质浮力与热浮力曲线

Fig.11 Solutal and thermal buoyancy curves (a-c) and locally enlarged parts (d-f) at solidification front in ingot with consideration of shrinkage + buoyancy at different time in the model

(a, d) y = 0.5 m (b, e) y = 1.0 m (c, f) y = 1.5 m

至5000 s时，随凝固前沿液相溶质浓度与参考值差值的继续增大，仅考虑热-溶质浮升力与考虑凝固收缩+热-溶质浮升力2种情形下糊状区中向上的溶质浮力均全程远高于热浮力占主导地位(图10和11)，驱使界面前沿钢液主流呈明显向上流动趋势(图9c、i和j)，直至完全液相区(f_l = 1.0)，热浮力才稍大于溶质浮力，引导钢液下行。液穴内呈现左侧区域顺时针、右侧区域逆时针的旋流形态，并保持到凝固末期(图9d、k和l)。

受界面前沿溶质浮力与热浮力的竞争作用，凝固初期与凝固中后期，液穴内旋流方向发生反转。并且，相比于仅考虑热-溶质浮升力影响，耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力影响时，液穴内旋流方向虽然反转时间稍晚，但反转进程反而更快。这是由于凝固体积收缩增强了界面前沿溶质富集程度，从而使溶质浮力超过热浮力主导液穴内旋流方向的影响更快体现出来。

本模拟与Li等^[15]使用液-等轴晶二相模型并且不考虑等轴晶运动时模拟得到的Fe-C合金铸锭凝固过程中熔钢旋流方向发生反转的趋势一致。Ge等^[38]使用液-等轴树枝晶二相模型模拟Fe-C合金铸锭的结果中，凝固前期，等轴晶处于运动状态，界面前沿熔钢向下流动；而至凝固中后期，全场等轴晶处于塞集状态，几乎无运动，凝固前沿富集溶质的熔钢则沿凝固前沿向上流动，该趋势亦与本工作结果一致。

另外，对比仅考虑热-溶质浮升力影响与耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力影响时全场速度最大值(熔体速度 u_l_j 模值的最大值|u_{l, max}|)可以看出，凝固初期(图9a、b和e、f)，仅考虑热-溶质浮升力时的全场速度最大值小于耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力的情形，由上面分析可知，凝固初期，热浮力占主导，主流流动沿热浮力方向，此时，仅考虑热-溶质浮升力影响时，存在贴壁向上的溶质浮力流，与主流方向相反，抵消了主流流动，因而全场速度最大值小于耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力时。当凝固进行到中期，溶质浮力影响超过热浮力占据主导地位，贴壁主流流动沿溶质浮力方向，这时，耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力时，凝固收缩导致糊状区和液穴区域的缩小反而增强了溶质浮力作用，使得图9f和i中的速度最大值大于或等于相同时刻图9b和c中值。流域速率的增大增强了内部换热，使得耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力情形下的凝固速率大于仅考虑热-溶质浮升力的情形，加速了凝固进程，故在凝固末期，耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力时的液穴范围(图9k)小于仅考虑热-溶质浮升力时(图9d)，此时未凝固区域绝大部分已为糊状区，熔钢流动存在阻碍，因而此时刻耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力时的全场速度最大值已远小于仅考虑热-溶质浮升力时的情形。

综上所述，在热-溶质浮升力影响的基础上，耦合考虑凝固收缩会对凝固过程中熔钢的流动及凝固产生很大影响。耦合考虑凝固收缩后，致使界面前沿主流股旋流方向稍晚发生反转并更快完成反转进程，导致凝固前中期熔钢流速超过仅考虑热-溶质浮升力时的流速；耦合考虑凝固收缩+热-溶质浮升力时铸锭凝固速率大于仅考虑热-溶质浮升力的情形。

4.2.2 对溶质分布的影响

分别及同时考虑凝固收缩与热-溶质浮升力的影响，凝固结束时整个铸锭区域中相对溶质分布云图如图12所示。可以看到，考虑热-溶质浮升力的影响后(图12a和c)，铸锭底部均呈现锥形负偏析，并在铸锭顶部中心处产生大面积的正偏析；而仅考虑凝固收缩时(图12b)则没有这一现象。说明热-溶质浮升力对于形成底部负偏析和顶部正偏析起决定性作用，这与Li等^[15]的分析一致。

图12

图12 铸锭凝固结束时相对溶质浓度分布

Fig.12 Relative concentration distributions of C in ingot at end of solidification

(a) consideration of shrinkage + buoyancy (solidification finish at 22000 s)

(b) consideration of only shrinkage (solidification finish at 25000 s)

虽然仅考虑热-溶质浮升力与凝固收缩和热-溶质浮升力2者均考虑的溶质分布结果中偏析类型基本相同，但在偏析程度和偏析带分布上仍有差异。由图13中心线及x = -0.32 m位置处溶质相对浓度分布可以看出：(1) 铸锭中心线上偏析程度。在铸锭上部冒口区域，C溶质正偏析达到最大，对于仅热-溶质浮升力、仅凝固收缩以及凝固收缩耦合热-溶质浮升力这3种情形，相对浓度最高值分别为+44.15%、+4.51%和+39.37%。与仅考虑热-溶质浮升力和仅考虑凝固收缩的偏析结果相比较，热-溶质浮升力耦合凝固收缩的偏析程度分别减少了4.78%及增加了34.86%；在铸锭下部，相对浓度最低值分别为-2.91%、-0.40%和-2.35%，较之仅考虑热-溶质浮升力，热-溶质浮升力耦合凝固收缩的偏析程度稍微有所减弱，减少了0.56%。(2) 铸锭中心线上偏析带分布。与仅考虑热-溶质浮升力的情形相比，凝固收缩耦合热-溶质浮升力的溶质分布中，冒口处收缩腔的出现不仅导致顶端正偏析区域下移，还减小了铸锭顶端正偏析区域面积和底端锥形负偏析。(3) 在x = -0.32 m位置处，即铸型冒口侧壁附近，凝固收缩耦合热-溶质浮升力与仅考虑热-溶质浮升力模拟出的溶质浓度分布相近，在铸锭底端和靠近顶端处均形成负偏析区域；而仅考虑凝固收缩时，在铸锭底端却几乎无负偏析区域。

图13

图13 铸锭中溶质相对浓度分布

Fig.13 Relative concentration distributions of C along ingot

(a) x = 0 (b) x = -0.32 m

综合以上分析，与凝固收缩相比，热-溶质浮升力对铸锭偏析的影响更大，耦合热-溶质浮升力和凝固收缩比分别考虑各自影响的偏析程度均大。凝固收缩的引入稍微减小了铸锭底端负偏析程度，减小了铸锭顶端正偏析数值，铸锭顶端正偏析带也稍向铸锭下方移动。

4.3 铸锭顶部换热强度对偏析的影响

参考Li等^[15]模拟中的铸锭顶端空气与熔钢及铸锭的换热系数5.0 W/(m²·K)和Wu等^[19]模拟中的气-液换热Ranz-Marshall模型和气-固换热条件，依据铸锭顶端存在保护渣层，铸锭顶端换热较弱，本节将铸锭顶端与外界(温度为300 K)换热系数分别设为0 (即绝热)、1.0和2.0 W/(m²·K)，考察凝固过程中顶端气-铸锭换热强度对最终铸锭偏析的影响。

图14给出铸锭内相对溶质分布云图。由于顶端换热系数较小且变化不大，所以铸锭纵截面上偏析类型和分布基本没变化。由图15铸锭中心线相对溶质浓度分布可见，顶端换热强度的改变对铸锭下半部溶质分布基本无影响，对凝固后期铸锭顶端区域偏析有一定影响。可以看出，相对于顶端绝热的情况，考虑顶部换热，铸锭上部偏析稍有减轻，铸锭上部的偏析率更接近实验测量值^[36]，其中，顶端换热系数为h = 2.0 W/(m²·K)时的结果和实验数据^[36]点基本重合。

图14

图14 不同顶端换热条件下铸锭内相对溶质浓度分布

Fig.14 Relative concentration distributions of C in ingot with different heat transfer conditions at ingot top

(a) adiabatic at ingot top

(b) heat transfer coefficient at ingot top h_top = 1.0 W/(m²·K)

图15

图15 铸锭中心线溶质相对浓度分布图

Fig.15 Relative concentration distributions of C along ingot centerline (Top-0: adiabatic at ingot top; Top-1.0: h_top = 1.0 W/(m²·K); Top-2.0: h_top = 2.0 W/(m²·K))

5 结论

(1) 开发了凝固界面追踪技术，结合液-固混相连续介质宏观传输模型，实现预测凝固收缩下钢铸锭宏观偏析形成过程。通过收缩量追踪空气-熔钢及铸锭界面并由动网格技术重构计算区域，利用变形的网格实现合金凝固体积收缩，避免了在经典的液-固混相连续介质宏观传输模型中引入气相而导致的气-合金界面模拟困难。预测的收缩腔形状与文献实验结果相符。

(2) 在热-溶质浮升力影响的基础上，考虑凝固收缩后，增强了糊状区内溶质浮力影响，致使Fe-0.3%C合金铸锭凝固前沿主流方向由与热浮力同向，更快转变为与溶质浮力同向，熔钢流速超过仅考虑热-溶质浮升力时的流速，从而加快了铸锭凝固速率。

(3) 对于Fe-0.3%C合金铸锭，在热-溶质浮升力影响的基础上，考虑凝固收缩后，预测的铸锭顶部正偏析最大值减少了4.78%，铸锭顶端气-熔钢及铸锭界面的换热，会减轻铸锭顶端正偏析。耦合热-溶质浮升力及凝固收缩影响，顶端与环境换热系数为h = 2.0 W/(m²·K)时的铸锭上端溶质分布更符合文献实验测量结果

(4) 本模型预测的铸锭中心线上底端最大负偏析为-2.35%，小于文献实验结果，存在偏差的原因在于本模型仅考虑了液-柱状晶混相，进一步的模型中需加入等轴晶粒沉降的影响以更好预测铸锭底部强锥形负偏析。

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