基于非对称双悬臂梁模型优化的双金属板界面结合强度研究

图1 基于线性硬化假定的双线性弹塑性界面本构模型

Fig.1 Bilinear elastoplastic interface constitutive model based on linear hardening assumption in tensile direction (a) and shear direction (b) (σ—stress in the tensile direction of the interface, σ_s—yield stress in the tensile direction of the interface, Δw₀—deformation of the interface under the tensile yield state, Δw—deformation of the interface in the tensile direction, K_z—elastic stiffness coefficient in the tensile direction, K $_{z}^{'}$ —tangent stiffness coefficient in the tensile direction, τ—stress in the shear direction of the interface, τ_s—yield stress in the shear direction of the interface, Δu₀—deformation of the interface under the shear yield state, Δu—deformation of the interface in the shear direction, K_x—elastic stiffness coefficient in the shear direction, K $_{x}^{'}$ —tangent stiffness coefficient in the shear direction)

图2

图2 技术路线图

Fig.2 Technical roadmap

1.2 断裂能计算公式的推导

分析复合板界面连接部分的受力情况，可以得到层间力的平衡方程，该方程建立了外部载荷与层间内力的关系^[27]：

\frac{d N_{α}}{d s} + n_{α} = 0, \frac{d Q_{α}}{d s} + q_{α} = 0, \frac{d M_{α}}{d s} + m_{α} - Q_{α} = 0

(1)

式中，N_α为层间轴向内力，Q_α为层间切向内力，M_α为层间弯矩，s为界面裂纹扩展位移，n_α为模型宽度方向上的轴向载荷，q_α为模型宽度方向上的切向载荷，m_α为模型宽度方向上的弯矩。

根据界面模型，外力作用下，界面拉伸和剪切方向均可能发生弹性或塑性变形，因此存在多种变形情况。根据图1，可以整理出界面拉伸和剪切方向上的应力位移关系：

拉伸方向：

\{\begin{matrix} σ = K_{z} \times Δ w & (Δ w < w_{0}) \\ σ = σ_{s} + K_{z}^{'} \times (Δ w - w_{0}) & (Δ w \geq w_{0}) \end{matrix}

(2)

剪切方向：

\{\begin{matrix} τ = K_{x} \times Δ u & (Δ u < u_{0}) \\ τ = τ_{s} + K_{x}^{'} \times (Δ u - u_{0}) & (Δ u \geq u_{0}) \end{matrix}

(3)

式中，σ为界面拉伸应力，Δw为界面拉伸位移，σ_s为界面拉伸状态下的屈服应力，w₀为界面拉伸屈服状态下的位移，τ为界面剪切应力，Δu为界面剪切位移，τ_s为界面剪切状态下的屈服应力，u₀为界面剪切屈服状态下的位移，K_z为拉伸方向弹性刚度系数，K $_{z}^{'}$ 为拉伸方向切线刚度系数，K_x为剪切方向下的弹性刚度系数，K $_{x}^{'}$ 为剪切方向下的切线刚度系数。

在外力作用下，考虑到2个方向上可能处于不同的变形阶段，一共存在4种变形情况，将不同变形情况下的界面应力位移关系带入到力平衡方程中可以建立界面应力与外界载荷的关系。再引入分层板的本构关系^[27]：

N_{α} = B A_{α} ε_{α}, Q_{α} = B C_{α} γ_{α}, M_{α} = B D_{α} k_{α}

(4)

该本构方程中，B为界面宽度，A_α为子层合板拉伸刚度，ε_α为子层合板轴向应变，C_α为子层合板剪切刚度，γ_α为子层合板剪切应变，D_α为子层合板弯曲刚度，k_α为子层合板曲率。

通过该方程，依据界面应力推导出界面位移的表达式，再根据界面位移与载荷位移的关系推导出载荷位移表达式。所有变形情况下的载荷位移关系式如下：

(1) 拉伸剪切方向均发生弹性变形：

δ = \frac{P}{B} [(d_{1} + d_{2}) \frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{K_{z}} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} (1 - λ_{i} a)]

(5)

(2) 拉伸方向弹性变形，剪切方向塑性变形：

δ = \frac{P}{B} [(d_{1} + d_{2}) \frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{K_{z}} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} (1 - λ_{i} a)] +

\frac{2 (\frac{τ_{s}}{K_{x}^{'}} - u_{0})}{H_{1}}

(6-1)

或：

δ = \frac{P}{B} [(d_{1} + d_{2}) \frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{K_{z}} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} (1 - λ_{i} a)] -

\frac{2 (\frac{τ_{s}}{K_{x}^{'}} - u_{0})}{H_{2}}

(6-2)

(3) 拉伸方向塑性变形，剪切方向弹性变形：

δ = \frac{P}{B} [(d_{1} + d_{2}) \frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{K_{z}} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} (1 - λ_{i} a)] \pm

(\frac{σ_{s}}{K_{z}^{'}} - w_{0})

(7)

(4) 拉伸和剪切方向均塑性变形：

δ = \frac{P}{B} [(d_{1} + d_{2}) \frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{K_{z}} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} (1 - λ_{i} a)] \pm

(\frac{σ_{s}}{K_{z}^{'}} - w_{0})

(8-1)

或：

δ = \frac{P}{B} [(d_{1} + d_{2}) \frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{K_{z}} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} (1 - λ_{i} a)] +

\frac{2 (\frac{τ_{s}}{K_{x}^{'}} - u_{0})}{H_{1}} \pm (\frac{σ_{s}}{K_{z}^{'}} - w_{0})

(8-2)

或：

δ = \frac{P}{B} [(d_{1} + d_{2}) \frac{a^{3}}{3} + \frac{1}{K_{z}} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} (1 - λ_{i} a)] -

\frac{2 (\frac{τ_{s}}{K_{x}^{'}} - u_{0})}{H_{2}} \pm (\frac{σ_{s}}{K_{z}^{'}} - w_{0})

(8-3)

式中，δ为端部位移；P为端部载荷；d₁=1/D₁，d₂=1/D₂，D₁和D₂分别为上、下子层材料的刚度；H₁和H₂分别为上、下子层合板厚度；λ_i为界面应力微分方程特征方程的根；f_i=F_iB/P，F_i为界面应力微分方程求解过程中的积分常数；i=1~6，分别对应着界面应力微分方程的6个解。

为获得层间断裂能与双悬臂梁端部位移的关系式，需引入梁应变能的计算公式和层间断裂能与应变能的关系，分别如式(9)^[28]和式(10)^[29]所示：

U_{1} = \frac{1}{2} \int_{l}^{} \frac{M_{1}^{2}}{E_{1} I_{1}} d x, U_{2} = \frac{1}{2} \int_{l}^{} \frac{M_{2}^{2}}{E_{2} I_{2}} d x

(9)

G = - \frac{1}{B} \frac{\partial U}{\partial a} = - \frac{1}{B} [\frac{\partial U_{1}}{\partial a} + \frac{\partial U_{2}}{\partial a}]

(10)

式中，U₁为上梁应变能，U₂为下梁应变能；G为断裂能；E₁为上梁弹性模量，E₂为下梁弹性模量；I₁为上梁截面惯性矩，I₂为下梁截面惯性矩；M₁为上梁弯矩，M₂为下梁弯矩，由加载在梁端部载荷P引起。

将式(9)带入到式(10)中，最终可以得到层间断裂能计算公式为：

G = \frac{1}{B} \frac{9}{2 a^{4}} [δ_{1}^{2} E_{1} I_{1} + δ_{2}^{2} E_{2} I_{2}]

(11)

式中，δ₁为上梁端部位移，δ₂为下梁端部位移。

将各种情况下的载荷位移表达式带入到式(11)即可计算出各种变形情况下的断裂能。

本节先建立双金属复合板界面的弹塑性模型，然后通过该模型解析双金属板界面断裂能。在断裂能的计算过程中，首先需要建立双悬臂梁模型，将模型的宽度和初始裂缝长度等几何参数作为已知量代入到解析式中，然后对界面结合强度取值范围做出假设，并以该值为标准，根据子层材料性能参数对界面屈服强度等参数进行估算。但由于界面结合强度值试取次数较多，且由载荷位移关系推导出了多个断裂能计算公式，计算量大，难以在计算过程中直接获得K_z (K $_{z}^{'}$ 和K $_{x}^{'}$ 可由该值求出)。为此通过建立有限元仿真模型和断裂能迭代运算程序，对载荷作用下界面的每种变形情况逐一分析，以获取准确的界面结合强度等参数值。

2 界面裂纹扩展的有限元模拟

根据前文中提到的界面应力位移曲线，当在双悬臂梁模型沿界面进行裂纹扩展时，界面在断裂前存在多种变形情况，需要借助有限元法对每种变形情况进行模拟以确定准确的应力位移关系。同时，对于双金属板，在表征双悬臂梁端部位移和载荷关系的解析式中，K_z无法通过实验的方法直接获得。因此，本工作借助有限元法建立双悬臂梁模型和T型剥离模型，通过模拟复合板的界面裂纹扩展过程解决这2个问题。

2.1 双悬臂梁模型的建立

建立长度105 mm、宽度10 mm、厚度1.85 mm 的Cu-Al复合的双悬臂梁模型，其中铜层厚度为0.75 mm，铝层厚度为1 mm，中间界面层厚度为0.1 mm，该模型在结构上具有非对称性，模型的一端设有长度为11 mm的起始裂缝，并在此端的铜层和铝层边缘部位施加大小为100 N、方向相反的一对恒定载荷P，如图3所示。通过建立该模型模拟界面裂纹扩展过程，获得不同界面结合强度下的端部位移。

图3

图3 双悬臂梁仿真模型

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Fig.3 Simulation model of double cantilever beam (a—length of initial layer crack, b—length of the connecting part of the model, P—end load of the model)

2.1.1 双金属板界面层属性

内聚力模型已经被广泛用于界面裂纹产生和扩展方面的数值模拟研究中，本工作内聚力模型采用双线性本构关系，如图4所示。在外载荷的作用下，内聚力单元出现损伤前，内聚力单元裂纹张力随张开位移s成线性增长，此时材料处于弹性状态。当位移继续增加到s_c，张力达到最大F时，界面开始出现损伤。随着位移的继续增加，损伤出现扩展，材料出现刚度退化，界面张力也成线性下降，所能承受的外载荷也逐渐减小。当位移达到s_e时，材料刚度完全退化，界面裂纹完全拓展，材料失效。

图4

图4 内聚力单元的双线性本构关系

Fig.4 Bilinear traction-separation response of the cohesive element relation of Fvss (F—interface bonding strength, K—stiffness, G—breaking energy, s_c—interface displacement at maximum crack tension, s_e—interface displacement at material failure, s—displacement of interfacial crack propagation)

2.1.2 双金属板材料属性

本工作使用的双金属复合板为T2-A1050爆炸复合板，通过拉伸实验可以获得上下层金属物理性能参数，如表1^[30]所示。

表1 Cu-Al 双金属板物理性能参数^[30]

Table 1 Physical property parameters of Cu-Al bimetal plates of A1050 and T2^[30]

Material	ρ / (kg·m^-3)	E / GPa	μ	σ_s / MPa
A1050	2700	70	0.33	98
T2	8940	115	0.35	290

Note:ρ—density, E—Young's modulus, μ—Poisson ratio, σ_s—yield stress

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2.1.3 双悬臂梁模型精度及有效性验证

(1) 单元类型及单元尺寸对模型的影响。分别从单元类型和单元尺寸对双悬臂梁模型的精度和有效性进行验证。在同一外形尺寸(图3)下，分别选取C3D8、C3D8R和C3D8I 3种网格单元进行建模，记录各单元类型上下梁端部位移δ₁和δ₂。结果表明，当单元类型选择C3D8时，双悬臂梁模型界面层不断开；在选取C3D8R单元时，δ₁=1.08 mm，δ₂=0.85 mm；选取C3D8I单元时，δ₁=0.34 mm，δ₂=0.21 mm。根据断裂能迭代运算程序结果：δ₁在1.04 mm左右变化，δ₂在0.75 mm左右变化，因此双悬臂梁模型可选取C3D8R类型单元进行模拟计算。

选取0.4、0.5、0.8和1.0 mm 4种单元尺寸，通过有限元模拟记录δ₁和δ₂的变化。结果表明，当单元尺寸取0.4和0.5 mm时，δ₁分别为0.94和1.08 mm，δ₂分别为0.82和0.85 mm，均与计算值(δ₁=1.04 mm，δ₂=0.75 mm)误差较小；当单元尺寸选取0.8和1.0 mm时，δ₁分别为9.12和12.13 mm，δ₂分别为6.69和9.13 mm，随着单元尺寸的增加，仿真结果与计算值的偏差越来越大，模拟精度也越来越差。但当单元尺寸过小时，模型网格数量过多，计算需要消耗大量时间，因此在保证模拟精度的前提下提高计算效率，选取单元尺寸0.5 mm进行仿真研究。

(2) 外形尺寸对模型的影响。为了研究双悬臂梁模型的外形尺寸是否对仿真结果产生影响，在图3模型(记为模型1)尺寸的基础上另外设计2个仿真模型，分别记为模型2和模型3，模型2相对于模型1将宽度由原来的10 mm缩短到6 mm，模型3相对于模型1将宽度增长为14 mm，同时将总体厚度由原来的1.85 mm缩短为1.55 mm。结果发现，δ₁、δ₂与模型宽度之间存在着近似反比的关系，即模型2与模型1相比，宽度比为0.6∶1，δ₁值比为0.58∶1，δ₂值比为0.66∶1；模型1与模型3相比，宽度比为1∶1.4，δ₁值比为1.38∶1，δ₂值比为1.46∶1。该规律也符合本工作断裂能解析中的端部位移与模型宽度的关系，因此本工作建立的双悬臂梁仿真模型具有一定的模拟精度。

2.1.4 仿真模型结果

首先对界面结合强度取值范围做出假设，假设界面结合强度处于T2和A1050屈服强度之间并进行多次取值，在外力作用下，开口端的上下子层材料会在界面断裂前首先发生弯曲变形，当外力传递到界面连接部分时界面断裂，Cu-Al层发生相对位移，将该位移量记作端部位移。因此模型计算结束后，测量不同界面结合强度设定值下的端部位移并记录。部分仿真结果如表2所示。

表2 双悬臂梁模型不同界面结合强度下的端部位移

Table 2 End displacements of double cantilever beam model at different interface bonding strengths

F / MPa	δ₁ / mm	δ₂ / mm
185	1.20352	1.10330
190	1.13473	1.02560
195	1.12890	0.91437
200	1.10361	0.86254
205	1.07793	0.84262
210	0.79290	0.74218
215	0.69302	0.70020

Note:F—interface bonding strength; δ₁, δ₂—upper and lower end displacements of composite beam model, respectively

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通过建立双悬臂梁仿真模型获得了不同界面参数下的端部位移，该结果将与下文中得到的断裂能迭代运算结果进行对比以确定准确的界面参数。

2.2 T型剥离模型的建立

在断裂能的计算过程中，K_z是建立拉伸变形方向下界面应力和位移关系的重要参数，为了确定该系数，首先通过实验直接获得材料的弹性模量E，然后确定两参数比值t (特征长度系数，与材料厚度有关)的取值，由于无法通过实验方法直接获取双金属板的t值，因此通过建立T型剥离模型确定t值。

在本构模型的提出中，搭接弹簧变形中应力与应变关系的是刚度系数，而在拉伸(剪切)方向上，弹性刚度系数与弹性模量(切变模量)存在着线性关系^[31]，即^[27]：

K_{z} = \frac{E_{z}}{t_{z}}, K_{x} = \frac{G_{x}}{t_{x}}

(12)

式中，E_z为界面拉伸方向弹性模量，t_z为拉伸方向上的特征长度系数，t_x为剪切方向上的特征长度系数，G_x为界面剪切方向切变模量。

2.2.1 T型模型精度及有效性验证

(1) 单元类型及单元尺寸对模型的影响。为了对T型剥离模型精度及有效性进行验证，首先分别选取3种单元类型进行建模，记录模型界面中每个节点在剥离过程中的最大应力(σ_max)以及界面层处于最大应力下的临界厚度与界面层原厚度的差值(ΔT)，通过比较2者的比值(即K_z)对模拟精度进行验证。结果表明，当采用C3D8单元时，模型网格产生了比较严重的扭曲，这会导致计算结果不精确；其余2种单元在计算结果上相差不大，K_z比较接近，分别为3.28和3.29 kN/mm³，但C3D8I单元由于计算精度比较高，CPU运行的时间为45 h，约为C3D8R单元的2倍，考虑计算精度的同时兼顾计算效率，因此选取C3D8R单元进行建模。

选取0.4、0.5、0.8和1.0 mm 4种单元尺寸进行模拟，结果发现，当板坯单元尺寸为0.4和0.5 mm时，K_z差距不大，约为3.30 kN/mm³；随着板坯单元尺寸的增加，弹性常数急剧减小，同时发现当单元尺寸为0.8 mm时，界面层临界厚度约为0.2 mm，比初始厚度大了一倍，随着单元尺寸增加，这个倍数还在扩大。因此当单元尺寸过大时计算精度较差。单元尺寸小使得计算效率低。综合考虑，选取板坯单元尺寸为0.5 mm。

(2) 外形尺寸对模型的影响。首先建立宽度10 mm、厚度1.85 mm、水平长度90 mm、T型头长度(垂直方向) 15 mm的模型(记为模型1)，在此基础上另外设计2个仿真模型，记为模型2和模型3，模型2相比模型1的宽度少5 mm，其它尺寸不变，模型3相比模型1宽度增长为15 mm，同时将总体厚度由原来的1.85 mm缩短为1.55 mm。对这3种尺寸模型分别进行仿真模拟，结果表明，外形尺寸的确会对σ_max和ΔT产生影响，但K_z相差不大。本工作在T型剥离模型的建立上选取了模型1的尺寸数据。

2.2.2 仿真模型结果

建立T型剥离模型，在子层材料的端部施加大小相同、方向相反的位移，图5所示为T型剥离模型界面结合强度为180 MPa时变形前后的仿真云图。并输出模型界面中每个节点应力随时间的变化曲线，记录模型在剥离过程中的最大应力，经统计为250 N/mm²。建立长度系数与界面最大应力的解析关系(2个式子分别对应着有限元法和参数迭代法确定K_z的2种思路)^[27]：

图5

图5 T型剥离模型变形前后的仿真云图比较

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Fig.5 Comparisons of simulation results of T-peeling model before (a) and after (b) deformation

K_{z} = \frac{σ_{m a x}}{∆ T} = \frac{E_{z}}{t_{z}}, t_{z} = \frac{H}{C}

(13)

式中，C为比例系数。在该模型中，界面层的原厚度为0.1 mm，临界断裂厚度为0.176 mm，则ΔT=0.076 mm。因此，求出E_z后，特征长度系数的求解问题也就解决了。

3 Cu-Al双金属复合板界面结合强度的确定

3.1 迭代运算程序的建立

首先通过实验确定双金属板铜层和铝层的材料性能参数。前文已得到了多种变形情况下的断裂能计算公式(11)，为了确定准确变形情况下的界面参数，采用基于MATLAB编写断裂能迭代计算程序，当输入不同的t值时，界面结合强度在T2和A1050屈服强度之间以5 MPa为间隔进行取值，会输出不同的断裂能和端部位移。

在拉伸剪切方向均处于弹性阶段下，得到G=2.53 mJ/mm²，δ₁=1.0974 mm，δ₂=0.7600 mm，该计算结果为定值，不随t值和界面结合强度变化，显然与实际情况不符。表3列出了拉伸方向处于弹性阶段，剪切方向处于塑性阶段下断裂能和端部位移的计算结果。

表3 拉伸方向处于弹性阶段，剪切方向处于塑性阶段下断裂能和端部位移的部分计算结果

Table 3 Partial calculated results of breaking energies (G) vsδ₁ and δ₂ when stretching in elastic stage and shearing in plastic stage

t	G / (mJ·mm^-2)	δ₁ / mm	δ₂ / mm
H/6.2	79.432~10.292	2.2118	1.5330
H/16.2	18.296~4.7731	1.5062	1.0439
H/30	9.639~3.7086	1.3277	0.9202

Note:t—characteristic length, H—thickness of the model

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其它变形情况也是类似的迭代计算方法，由于情况较多在此省略。

3.2 层间断裂能及界面结合强度的确定

前文已通过建立T型剥离模型获得了最大剥离应力，同时计算出ΔT=0.076 mm，文献[32]指出，Cu-Al复合板实际的界面厚度为微米级。因此结合有限元模型和特征长度系数与界面最大应力的解析关系可以推算出：当界面厚度为1 μm时，ΔT=0.00076 mm，C=3.4，当界面厚度为2 μm时，ΔT=0.00152 mm，C=6.8，…，以此类推，每一个C对应一个t。

根据迭代计算结果，当复合板界面拉伸方向处于弹性阶段，剪切方向处于塑性阶段，t=H/3.4，界面结合强度在T2和A1050屈服强度之间变化时，断裂能在1.7572 mJ/mm²与2.3122 mJ/mm²之间变化，δ₁在1.04 mm左右变化，δ₂在0.75 mm左右变化，根据表2中有限元结果，当界面结合强度处于205 MPa与210 MPa之间时，仿真端部位移与迭代计算结果误差最小。

因此，通过有限元仿真与迭代计算，可以得到T2-A1050双金属复合板的界面结合强度为208 MPa，断裂能为2.31 mJ/mm²。

3.3 界面参数的验证与应用

3.3.1 界面参数对最大成形深度的影响

在渐进成形过程中，板料不断受到拉应力出现减薄，当板料上局部区域出现严重的减薄就会产生破裂，界面损伤开裂，可见，界面参数对板料成形深度有着很大的影响。因此设置3组界面参数，借助渐进成形仿真实验，通过界面损伤情况研究界面参数对最大成形深度的影响，同时验证解析结果的准确性。

首先建立如图6所示的仿真模型，A1050、Interface和T2分别对应复合板的铝层、界面层和铜层，Tool为单点渐进成形工具头。圆形复合板的直径为130 mm，厚度为2 mm，铜层和铝层厚度都为0.95 mm，界面层厚度为0.1 mm，工具头直径为10 mm。

图6

图6 单点渐进成形仿真模拟

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Fig.6 The simulation of single point incremental forming (A1050—aluminum layer of bimetal plates, interface—interface layer of bimetal plates, T2—copper layer of bimetal plates, tool—tool head of the single point incremental forming)

图7为双金属Cu-Al复合板界面结合强度为150 MPa、断裂能为1.8 mJ/mm²时界面内聚力单元损伤情况。QUADSCRT为二次应力判据，当其中达到1时，内聚力单元开始损伤。可以看出，双金属复合板渐进成形加工到10 mm，界面内聚力单元即出现了大面积的损伤裂纹。之后保持断裂能不变，将界面结合强度提高到180 MPa，发现当加工深度到达30 mm时，内聚力单元才出现损伤裂纹。

将本工作解析方法获得的界面参数带入到仿真模型中，发现当渐进成形深度达到31 mm时，内聚力单元在图8中位置出现损伤裂纹，这与文献[30]实验中成形件加工开始出现裂纹的位置相同，且其裂纹出现的深度为32.59 mm。可见，本工作有限元模拟结果与实验^[30]相差5.3%。因此，利用解析法求得的Cu-Al复合板界面参数可以应用到渐进成形模型中。此外，当界面结合强度由150 MPa增加到208 MPa时，最大成形深度增加了210%。可以看出，增大界面结合强度有助于提高最大成形深度。

图7

图7 内聚力单元的损伤情况

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Fig.7 The damage of the cohesive element (QUADSCRT represents secondary stress criterion)

图8

图8 复合板损伤模拟结果

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Fig.8 Simulated result of the bimetal sheet damage

3.3.2 界面参数在渐进成形中的应用

(1) 界面参数在渐进成形精度中的应用。建立双金属板渐进成形仿真模型，其中圆形复合板的直径为300 mm、厚度为2 mm，铜层厚度为0.25 mm，铝层厚度为1.65 mm，界面层厚度为0.1 mm，工具头直径为10 mm，每步压下量设为1 mm，仿真结果(应力云图)如图9a所示。同时在HKT-1105B数控成形机床上进行板材加工，详细加工参数和压头路径按照仿真实验设置，圆形外部区域为夹具压边区域，为非成形区域。图9b为成形件实物图。

仿真计算结束后，提取成形件轮廓变化曲线，同时利用HandySCAN300三维激光扫描仪扫描成形件，并提取轮廓曲线，结果如图10所示。从图10可见，整体上实验曲线与仿真曲线拟合情况较好。在渐进成形过程中，当成形角度过小时，制件会出现一种严重的精度缺陷：底部鼓包。该缺陷产生的原因是成形件底部上下表面应力状态不同，上表面受拉，下表面受压，导致产生向上凸的鼓包。因此底部鼓包的大小可以反映成形件的加工精度。从图10中可以看出，仿真结果与实验结果在底部鼓包高度上具有较好的一致性。

图9

图9 单点渐进成形仿真结果与实验结果的对比

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(a) simulated result (b) experimental result

Fig.9 Comparisons between the result of single point incremental forming

图10

图10 单点渐进成形实验和仿真轮廓曲线

Fig.10 Experimental and simulated contour curves of single point incremental forming

(2) 应用界面参数研究渐进成形底部鼓包问题。将解析获得的界面参数带入到仿真模型中，以图6所示的直径为130 mm的复合板模型为研究对象，设置不同的压下量分别进行计算，测量不同压下量下成形件底部最大鼓包高度。图11a为不同压下量下圆锥制件的截面轮廓，图11b为不同压下量下的鼓包高度。可以看出，随着工具头压下量由2.0 mm变为0.5 mm，底部的鼓包高度由1.12 mm下降到0.48 mm，下降了57%。

图11

图11 不同压下量下圆锥制件的截面轮廓和底部鼓包高度

Fig.11 Sectional profiles of conical parts under different reductions (a) and the heights of bulge defect under different reductions (b)

除了压下量，工具头直径也是影响渐进成形底部鼓包的因素，为了研究工具头直径对底部鼓包的影响，以圆锥台制件为例，选取工具头直径为10、16和22 mm时圆锥制件截面轮廓，并计算底部最大鼓包高度。图12a为不同工具头直径下圆锥制件的截面轮廓，通过测量成形件底部最大鼓包高度可以发现，随着工具头直径由10 mm增加为22 mm，板料底部的鼓包高度有减小的趋势，如图12b所示，在工具头直径为10、16和22 mm时，对应的底部鼓包高度分别为0.84、0.66和0.52 mm，底部鼓包高度和工具头直径的关系成负相关，随着工具头直径增加，鼓包高度下降了38%。

图12

图12 不同工具头直径下圆锥制件的截面轮廓和底部鼓包高度

Fig.12 Sectional profile curves of forming depth vs displacement of conical parts under different tool diameters (D) (a) and histogram of height of bulge defect vs tool diameter (b)

根据上述分析，在实际的渐进成形加工中，各工艺参数的选取应综合考虑加工工艺参数的可操作性和对成形效率质量的影响。其中鼓包高度随着压下量的减小而减小，但如果一味减小每步压下量，会导致成形效率显著下降；鼓包高度随工具头直径增加而降低，增加工具头直径使得与板料接触面积增加，导致板料上下面应力差减小，从而抑制鼓包形成，但是随着工具头直径增加工具头对制件的影响加大，使能达到的加工精度降低。基于上述考虑，本工作提出一组较合理的参数组合为：压下量1.0 mm、工具头直径16 mm，经仿真计算得出鼓包高度为0.73 mm，比鼓包高度最大的参数组合(压下量2.0 mm、工具头直径10 mm、鼓包高度1.55 mm)下降了53%，成形效率提高了一倍，由于工具头直径减小，理论加工精度也更高。

通过以上研究可知，界面参数解析有助于建立考虑界面影响的双金属板模型，这样的模型在进行仿真实验时与实际情况更加相符，同时通过建立该模型可研究加工参数对渐进成形精度的影响，因此界面参数的解析能够推动渐进成形技术的仿真研究。

4 结论

(1) 基于目前普遍采用的非对称双悬臂梁模型，在充分考虑金属复合材料界面塑性变形行为的基础上，对模型进行优化，提出解析计算双金属板界面结合强度的改进方法。借助渐进成形实验验证了此方法的正确性，并应用该方法获得了爆炸复合的T2/A1050 Cu-Al双金属复合板界面结合强度为208 MPa。

(2) 通过模拟渐进成形加工过程研究了界面结合强度与最大成形深度的关系，发现最大成形深度与界面结合强度呈正相关，当界面结合强度从150 MPa增加到208 MPa时，最大成形深度增加了210%。

(3) 应用解析结果对渐进成形精度问题进行研究，发现压下量和工具头直径严重影响渐进成形鼓包高度，讨论了渐进成形底部鼓包在不同工艺参数下的变化规律，当压下量由2.0 mm降低至0.5 mm，鼓包高度可降低57%；工具头直径由22 mm下降至10 mm，鼓包高度下降38%。最后优选了一组较合理的参数组合为压下量1.0 mm、工具头直径16 mm，经仿真计算得出鼓包高度为0.73 mm，使双金属复合板鼓包高度下降53%。

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