缩孔、缩松和气孔是铸件中常见的缺陷。长期以来，研究人员通过实验、理论分析和数值模拟等方法，深入探讨这些缺陷的形成机制，以期能够预测和预防它们的发生[1 ~4 ] 。在合金铸件中，缩孔和缩松是由于液相转变为固相时密度增加导致的。当局部区域的凝固收缩量无法被周围液相完全弥补时，就会形成缩孔[5 ] 。通常，缩孔会集中出现在铸件的顶部，而微观缩松出现在不同枝晶的交界处。气孔则是由于金属熔体中溶解的气体在凝固过程中因温度下降而导致溶解度降低从而析出形成的[6 ] 。
在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析。关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] 。其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究。Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究。
关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] 。然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率。为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] 。该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] 。之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势。
在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] 。Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合。刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素。随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] 。Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性。朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合。相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制。Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化。随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型。对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善。
上述研究中，在计算微观缩松时，一类方法是采用宏观方法通过判据进行预测，但是不考虑微观组织的形成过程；另一类方法考虑微观组织，但是主要是计算气孔，而不考虑枝晶的收缩。但微观缩松是与枝晶凝固过程的动态收缩紧密相关的，因此对于微观缩孔的数值模拟，仅仅考虑气体的析出是不够的，枝晶的收缩过程也应考虑。
虽然集中缩孔可以在宏观层面上进行模拟，但局部缩松是发生在枝晶形成后由于枝晶周围液相的凝固收缩未能得到充分的补缩而形成的，因此需要从微观组织的形成过程加以描述。本工作从微观角度模拟缩松的动态形成过程，即采用CA方法模拟枝晶的生长及伴随出现的枝晶收缩过程，采用LBM方法计算由于收缩引起的缩孔的扩散过程，以期为更准确地预测微观缩孔的形成过程奠定基础。
1 基于CA-LBM 的枝晶间微观缩松的数值模型的算法原理
枝晶是金属晶体中最基本的结构，枝晶的生长伴随着枝晶前端固-液转变过程，由液态转变为固态时，分子间距减小导致密度增大、体积减小，即凝固收缩过程。如图1 所示，5个深色元胞(网格)围成的形状代表一个枝晶。经过一个时间步长(Δt )，假设右端元胞生长出一定的体积，如图1 中虚线所示，该生长出的体积由于凝固收缩后退至网格阴影线部分。
图1
图1
微观缩松算法模型
Fig.1
A model of the microscopic shrinkage algorithm
在某一时间步长Δt ，采用CA计算枝晶生长，消耗等体积的液相(对应的体积为ΔV l )凝固生成等体积的固相(对应的体积为ΔV s )，ΔV s 对应着一定的元胞中的固相增长率(Δf s )。由于凝固收缩，ΔV s 发生收缩，这个收缩即是缩孔缩松的成因。假设ΔV l 转化为ΔV s 的枝晶后，其收缩体积为β ΔV s (β 为体积收缩率，即1体积液相全部转变为固相后的体积减少率)，β 表示为：
β = ( ρ s - ρ l ) / ρ l (1)
如图1 所示，在右端的元胞中出现了β ΔV s 的真空部分(缩孔)。如果该真空周围相邻的元胞存在液相，则该真空孔洞会由于与周围液相的压力差而发生扩散，直至所有与之相关的液相元胞中的压力平衡或真空孔洞被周围的固相包围固定而静止。本工作计算思路为，将产生的β ΔV s 的真空收缩通过LBM流场计算更新液相元胞的体积密度进而更新其液相率，之后全域计算每个元胞的真空孔洞并输出，反映在图像上就可以清晰地观察到真空收缩的扩散过程。
2 模型描述
采用二维CA-LBM模型计算Al-4.7%Cu (质量分数)溶体合金凝固时枝晶间的微观缩松。其热物性参数见表1 。
用CA方法计算枝晶生长过程，同时计算收缩体积；用LBM方法计算凝固过程中的温度场和溶质场，同时计算由于枝晶收缩产生的孔洞的扩散过程。其模型流程图如图2 所示。
图2
图2
模型流程图
Fig.2
Model flow chart (CA—cellular automata, LBM—lattice Boltzmann method)
2.1 LBM 模型
采用D2Q9模型计算凝固过程中的二维流场、温度场及溶质场，假设单枝晶及多枝晶均在平面中形成，液相流动主要因收缩引起，忽略重力的影响。
f i ( x + e i Δ t , t + Δ t ) - f i ( x , t ) =
- 1 / τ f [ f i ( x , t ) - f i e q ( x , t ) ] (2)
式中，fi (x , t )表示t 时刻在位置x 处出现微粒的概率；ei 为格子在i 方向上的速度分量；i 的取值范围为整数0~8，表示D2Q9模型的9个方向；τ f 为松弛时间；f i e q ( x , t )
f i e q ( x , t ) = ω i ρ i 1 + 3 e i ⋅ u c 2 + 9 2 ( e i ⋅ u ) 2 c 4 - 3 2 u ⋅ u c 2 (3)
式中，ωi 为D2Q9模型在9个方向上的权重因子，当i = 0时，ωi = 4/9；当i = 1~4时，ωi = 1/9；当i = 5~8时，ωi = 1/36；c 为声速； u
温度场、溶质场的计算与流场计算类似，二者对应的平衡分布函数h i e q ( x , t ) g i e q ( x , t )
h i e q ( x , t ) = ω i T 1 + 3 e i ⋅ u c 2 + 9 2 ( e i ⋅ u ) 2 c 4 - 3 2 u ⋅ u c 2 (4)
g i e q ( x , t ) = ω i C l 1 + 3 e i ⋅ u c 2 + 9 2 ( e i ⋅ u ) 2 c 4 - 3 2 u ⋅ u c 2 (5)
温度场、溶质场分布函数(hi 、gi )的计算式分别为：
h i ( x + e i Δ t , t + Δ t ) - h i ( x , t ) =
- 1 / τ α [ h i ( x , t ) - h i e q ( x , t ) ] + H i (6)
g i ( x + e i Δ t , t + Δ t ) - g i ( x , t ) =
- 1 / τ D [ g i ( x , t ) - g i e q ( x , t ) ] + G i (7)
式中，τα 为温度场的松弛时间，τ D 为溶质场的松弛时间，Hi 为温度场分布函数中由于液相转变为固相放出潜热而产生的热源项，Gi 为溶质场分布函数中由于相变排出溶质而产生的溶质源项。Hi 和Gi 的表达式分别为：
H i = ω i Δ f s L / c p (8)
G i = ω i C l ( 1 - k ) Δ f s (9)
式中，L 为凝固潜热，cp 为比热容，k 为溶质分配系数。
对于流场，τ f 与运动黏度(ν )有关，它们之间的关系可表示为：
τ f = 3 ν / ( c 2 ∆ t ) + 0.5 (10)
τ α = 3 α / ( c 2 Δ t ) + 0.5 (11)
τ D = 3 D / ( c 2 Δ t ) + 0.5 (12)
宏观密度ρ l 及宏观速度 u
ρ l = ∑ i = 0 8 f i (13)
u = ( ∑ i = 0 8 e i f i ) / ρ l (14)
T = ∑ i = 0 8 h i (15)
C l = ∑ i = 0 8 g i (16)
由于收缩，合金熔体在转变为固相后体积会减小一部分而产生缩孔，与不考虑收缩的模型相比，固相体积减小，非固相体积增大，但液相分子的数量没有改变，故原有液相的密度会因缩孔的产生骤然下降。处理此类密度下降的元胞有两种思路：一种是先处理元胞的分布函数，将密度下降量对应9个分布函数的权重分为9份，然后在每一个分布函数中减去其对应的下降分量，称为源项法。另一种思路是反其道而行之，首先处理元胞的密度，计算得到下降后的密度，然后将更新后的密度(ρ update )作为新的ρ l 代入到 式(3)更新该元胞的平衡分布函数。这两种方法经计算测试得到的结果相同。为了简化代码，提高计算效率，本工作采用第二种算法：
ρ u p d a t e = V l V l + β Δ f s ρ l (17)
式中，V l 表示液相元胞所占格子体积。 式(17)仅更新发生密度骤降元胞的密度。更新后由于密度不同而产生的压力差成为流动的驱动力，采用LBM算法中的流场计算流动过程中分布函数的碰撞及迁移过程，以模拟宏观液体的流动补缩过程，即，周围液相补充到缩孔中来，周围元胞密度减小，同时也代表着液相率(f l )减小，缩孔率增大；被补缩元胞密度增大，f l 增大，表示缩孔率减小，下一时间步由于驱动力依然存在使得缩孔继续向全域扩散，直至缩孔均匀分布于全域网格中，驱动力消失，扩散终止。
2.2 计算域边界条件及枝晶/ 熔体界面条件的处理
计算域内部节点的分布函数都可以由上述过程得到，但是边界节点的分布函数仍是未知的，需要对边界条件进行处理。
在LBM流场计算中，计算域边界条件采用标准反弹格式[46 ] ，该格式能够保证质量和动量守恒，且操作简单。而在枝晶和熔体的固/液界面处，为了保证液相率的守恒，将界面元胞视为计算的边界并采用标准反弹格式计算分布函数。以下边界为例，如图3 所示，自流体节点(x - 1, 1)、(x , 1)、(x + 1, 1)对应的分布函数f 8 、f 4 、f 7 不发生碰撞即沿原路弹回，由此可获得节点(x , 0)上的f 6 、f 2 、f 5 ，即：
f 2,5 , 6 ( x , 0 ) = f 4,7 , 8 ( x , 0 ) (18)
图3
图3
标准反弹格式
Fig.3
Standard bounce format
在溶质场计算中，计算域边界处采用零扩散的边界条件，即计算域边界层元胞的浓度等于次边界层的浓度，而对于枝晶和熔体的固/液界面，直接反弹即可。
在温度场计算中，每一次循环计算完成后都在温度场全域减掉一个定值以模拟实际中的全域散热(三维中z 方向上的散热)，而在计算域的边界处则采用恒热流密度的边界条件，对于枝晶和熔体的固/液界面则无需任何处理。
2.3 CA 模型
枝晶生长采用Zhu和Stefanescu[47 ] 提出的溶质扩散型模型，由平衡浓度与实际浓度之差作为驱动力驱使枝晶在界面元胞处生长，生长方程为：
Δ f s = ( C l e q - C l ) / [ C l e q ( 1 - k ) ] (19)
式中，C l e q C l e q C l 之差是判断元胞生长的重要依据：若C l e q C l
C l e q = C 0 + ( T - T L e q ) / m +
Γ K [ 1 - 15 ε c o s ( 4 ϕ - 4 θ ) ] / m (20)
式中，m 为液相线斜率，T L e q C 0 时的液相线温度，Γ 为Gibbs-Thomson系数，ε 为界面能各向异性强度，ϕ 为固/液界面法向与x 轴正方向之间的夹角，θ 为枝晶的择优生长方向，K 为固/液界面的局部曲率。
采用平均曲率法计算K ，ϕ 可根据固相率(f s )对x 、y 方向上的各阶偏导数求得，计算方程如下：
K = ∂ f s ∂ x 2 ∂ f s ∂ y 2 - 3 / 2 2 ∂ f s ∂ x ∂ f s ∂ y ∂ 2 f s ∂ x ∂ y -
∂ f s ∂ x 2 ∂ f s ∂ y - ∂ f s ∂ y 2 ∂ f s ∂ x (21)
ϕ = c o s - 1 ∂ f s ∂ x ∂ f s ∂ x 2 + ∂ f s ∂ y 2 - 1 / 2 ∂ f s ∂ y ≥ 0 2 π - c o s - 1 ∂ f s ∂ x ∂ f s ∂ x 2 + ∂ f s ∂ y 2 - 1 / 2 ∂ f s ∂ y < 0 (22)
当界面元胞的f s 达到1时，元胞转变为固相元胞并捕获周围的液态元胞，使之成为界面元胞，本工作采用的捕获方式为八邻居捕获法则[48 ] 。
当不考虑凝固收缩时，在CA模型中，1体积液相转变为1体积固相，即体积不发生变化。本工作要计算枝晶生长过程中伴随着的收缩过程，因此液-固转变前后的体积发生变化，故分别对元胞中的f s 及f l 做如下处理：
f l = f l - Δ f s (23)
f s = f s - β Δ f s (24)
f e m p = 1 - f l - f s (25)
式中，f emp 表示每个元胞的缩孔率。由于初始时刻f l = 1，f s = 0，即f s + f l = 1，在后续的计算中可以观察到每当某一时刻有元胞发生生长时，该元胞的固相率与液相率之和与1相比都会减小β Δf s ，从而产生了局部的真空体积，该真空体积通过两种途径扩散(即收缩扩散)：流场扩散(主要方式)和生长扩散(次要方式)。
本工作采用Al-Cu合金作为计算合金，其中ρ l = 2606 kg/m3 ，ρ s = 2743 kg/m3 ，因此β = 0.05，即β = 5.0%，假设该收缩率为常数。
在界面元胞生长过程中，如果在某一时刻，Δf s 大于该时刻该元胞的剩余液相率f l ，此时该元胞中由于液相体积不够，无法满足该元胞的生长需求，需要相邻的液相元胞给该元胞补充部分液相，为此，本工作给出如下算法。
(1) 由于发生此种情况时，已经进入到此元胞生长过程的尾声，故假设在周围液相元胞能够补足此元胞生长的前提下，该元胞在此时间步长内完全凝固(即f s = 1，f l = f emp = 0)。
(2) 如图3 所示，在二维情况下，由于相邻8个元胞中上下左右4个元胞有一条边与本元胞相接，而其余4个元胞处于角部位置，仅有角点与本元胞相接，故假设相邻元胞中的上下左右4个元胞能够对此元胞补充液体(四邻居补充)，而角部的4个元胞不能向此元胞补充液体，且4个方向上的液相元胞的补缩权重均相同。
上述假设没有改变固-液转变体积变化的准则(即根据固-液密度的变化，1体积的液相全部转变为ρ s / ρ l 体积的固相)，也没有影响原用于模拟CA-LBM耦合模型中对应参数的计算，从理论上来说是合理可行的。而对于周围没有液相元胞的情况，则依据固-液转变体积变化的准则，将该界面元胞内的液相全部转变为收缩后的固相体积并将此元胞标记为固相元胞，同时，由于该元胞周围不存在液相元胞，无法对其补充液相，故保留其固-液转变后产生的真空体积。
3 对模型的验证及讨论
为了验证枝晶生长过程中孔洞的形成以及扩散过程的合理性，首先计算纯液态下真空孔洞的扩散过程，分为两种情况：(1) 计算域中无障碍物时的孔洞扩散过程；(2) 计算域中有障碍物时的孔洞扩散过程。然后计算单枝晶和多枝晶凝固状态下微观缩孔的形成过程及分布状况。
3.1 纯液态下真空孔洞的扩散过程
3.1.1 九网格真空孔洞扩散过程模拟
如图4 所示，不考虑重力影响，在计算域中，假设中心网格为真空状态，周边的8个网格均为充满液体的网格，液相率为1.0。从理论上分析，由此开始，由于液体压力，周围8个网格的液体会进入到中心网格中，将中心网格的真空孔洞向周围的网格挤压疏散，周围网格的液相率会降低，小于1.0，从而降低周围网格对中心网格的压力，如此持续下去，直到全部网格中的缩孔率均相等为1/9 (即液相率均为8/9)，计算域中的液体停止运动而静止。
图4
图4
九网格下的真空孔洞的扩散模型
Fig.4
Diffusion modeling of vacuum holes under nine grids
采用本工作的数值模型对图4 的模型进行数值计算。将计算域划分为3 × 3个网格，网格尺寸Δx = 1.0 × 10-3 mm。计算域内中心网格周边的8个网格的初始ρ l = 1，f l = 1；中心网格的ρ l = 0，f l = 0，即中心网格为真空孔洞。计算过程及结果如图5 所示(图中数值表示缩孔率)。
图5
图5
真空孔洞扩散过程的九网格验证
Fig.5
Nine-grid validations of initial conditions (a), diffusion process (b, c), and final results of the simulation (d) in vacuum cavity diffusion process (f emp —shrinkage of a cell)
由图5 可知，最终真空孔洞均匀地分布到了9个网格中，每个网格的缩孔率为0.1111111 (即1/9)，说明所建立的LBM模型可以准确地计算真空孔洞的疏散过程。注意到，计算全域的总缩孔体积由1变为了0.999999，产生了细微的误差，此误差是由计算机浮点数产生的误差，符合计算精度要求。
为了进一步验证本模型的可行性，对将计算域划分为5 × 5共25个网格、10 × 10共100个网格两种情况进行模拟，模拟结果如图6 所示，25网格总缩孔量由1变为了1.00000125，100网格缩孔量由1变为了1.000009，其结果均符合计算精度要求。
图6
图6
真空孔洞扩散过程的二十五网格和一百网格验证
Fig.6
Twenty-five grid (a1-a4) and one-hundred grid (b1-b4) verifications in vacuum cavity diffusion process
(a1, b1) initial conditions (a2, a3, b2, b3) diffusion process (a4, b4) final results of the simulation
3.1.2 多网格真空孔洞的扩散数值模拟
在上述9网格真空孔洞扩散模拟的基础上，进一步将计算区域扩大为361 × 361共130321个网格，Δ x = 1.0 × 10 - 3 图7 所示，中心真空孔洞的网格序号(180, 180)，f emp = 1，分3种情况进行模拟计算：在计算域中不设障碍物(图7a )，设横向条状障碍物(图7b )，设竖直条状障碍物(图7c )；以及在计算域中设置两个孔洞(详见下文)分别进行计算以观察孔洞的扩散过程。
图7
图7
真空孔洞扩散过程的多网格流场的计算域
Fig.7
Computational domain of multigrid flow field in vacuum cavity diffusion process
(a) pure liquid phase (b) lateral obstacle (c) vertical-like obstacle
对图7a 所示的模型进行了41000个时间步的计算才达到全域稳态，即与图5d 类似的平衡状态。图8 为从图7a 模型计算的前3000个时间步中抽出的15个状态图。
图8
图8
纯液相中的缩孔扩散(前3000步)
Fig.8
Condensation diffusion (first 3000 steps) in pure liquid phase (The depth of color only represents the concentration of shrinkage holes, the same below)
(a) 230 steps (b-o) continue to output the result of the calculation every 60 steps
图8 显示了纯液相中的缩孔扩散过程。整体计算域可以分为3个部分：无缩孔或缩孔极少区(蓝色区域)、缩孔集中区(红色区域)及缩孔存在区(绿色区域)。在同一幅图中，红色区域中的缩孔率大于绿色区域，且红色区域与蓝色区域之间一定存在一个绿色过渡区域。当缩孔区域接触到边界处时，在接触区产生了缩孔的累积(图8b 中的红色区域)，在图8c、d、l、n 中的边界处也能观察到相同的现象。当两处或者更多缩孔扩散中的绿色区域在此处因扩散方向不同而汇聚在一起时，便形成诸如图8e、f、g、j 这类在计算域内部出现的缩孔累积区。纵观图8 可知，在缩孔扩散时，缩孔率较高的区域所出现的位置是动态变化的，并不是通常想象的均匀扩散过程。在缩孔未达到均匀分布的稳定状态时，当其运动到边界处时会发生反弹并继续扩散，总体上会体现出中心-边界缩孔量高低交替的现象，但每一次交替过程两者差异逐渐减少，最终趋于稳定。
图9 为3000输出步后不同时刻的缩孔扩散过程。与图8 不同，图9 所示的扩散过程具有周期性。由图9 可见，缩孔集中区基本呈周期性地出现在中心和四角处，往复摆动，即缩孔在这种周期往复运动的扩散中逐步趋于均匀一致。图9a~m 为一个周期，到图9n 时，又出现了与图9a 类似的图像，图9o 与b 也是类似的，第二个周期开始。后续的计算也呈现出这样的周期性，每一次循环，缩孔度差异都在减小，直到最后完全均匀化。
图9
图9
纯液相中的缩孔扩散(3000步后)
Fig.9
Condensation diffusion in pure liquid phase (after 3000 steps)
(a) 3000 steps (b-o) continue to output the result of the calculation every 3000 steps
综上计算结果表明，缩孔在流场中的扩散过程，在初期没有一定的规律，但随着扩散的进行，缩孔扩散呈规则的中心-四角-中心的循环往复的周期形态，直到缩孔分布完全均匀化。
图10
图10
多网格流场缩孔扩散示意图(含障碍物)
Fig.10
Schematics of shrinkage diffusion in a multigrid flow field with lateral obstacle (a1-a5) and vertical-like obstacle (b1-b5)
(a1) step = 120 (a2) step = 260 (a3) step = 430 (a4) step = 640 (a5) step = 770
(b1) step = 130 (b2) step = 240 (b3) step = 390 (b4) step = 560 (b5) step = 720
从图10a1~a5 可以看出，初始阶段(图10a1 )，缩孔呈环形向外扩散，不受横向障碍物的影响。当缩孔扩散接触到横向障碍物时(图10a2 )，可以观察到缩孔在障碍物处有滞留。随着扩散的继续进行，障碍物处的缩孔出现了反弹，如图10a4 和a5 所示，其余方向的缩孔继续向外扩散。
图10b1~b5 为竖直放置的障碍物对缩孔扩散的影响。总体扩散过程与图10 的上部组图类似，只是在障碍物处的缩孔未出现反弹的现象，这是因为竖直障碍物宽度比较窄(只有3个元胞宽度)，但观察图10b4 和b5 可以发现一个有趣的现象，扩散在绕过竖直障碍物时，两侧的扩散似乎受到“摩擦力”的作用相对于其周围缩孔的扩散有滞后的现象，但并未留滞到固相周围，而是继续向前方扩散。
对上述带有障碍物的真空孔洞扩散现象的机理分析如下。
(1) 本收缩扩散模型的扩散机理是通过LBM流场的计算，将每个网格中的液相密度进行扩散，并依此更新每一时间步的液相率，从而得到每时刻每个网格的缩孔率(f emp = 1 - f l )，故实质上发生扩散的不是收缩体积，而是液相率。当扩散前方存在固相时，由于液相扩散受到阻碍，相距较近的液相元胞无法及时补充含有收缩体积的元胞，从而产生了收缩累积且其值明显大于周边区域的现象。
(2) 随着计算时间的推移，累积的收缩量由于受到固相的阻碍，只得向未受到固相阻碍的周围扩散，其中一部分沿着之前扩散到固相的反方向扩散回去，从而产生了图中的反弹现象(图10a4 和a5 )，而扩散到未受到固相阻碍的缩孔扩散继续进行并绕过固相。
(3) 对于图10b4 和b5 ，在长条状固相区域两侧的缩孔相比于被液相完全包围的缩孔，其每个时间步的补缩量较小，即由于固相的存在，固相两侧的缩孔补缩较慢，反映到扩散过程中便是扩散速率较慢，导致临近固相区域两侧缩孔扩散速率小于周围，从而产生了缩孔扩散的滞后现象。
图11 为当计算域中存在两个真空孔洞时扩散相互作用的过程。初始时刻，在(90, 180)和(270, 180)两个点处分别设置f emp = 1的缩孔，然后开始扩散计算。
图11
图11
两点扩散过程示意图
Fig.11
Schematics of two-point spread
(a) step = 90 (b) step = 130 (c) step = 180 (d) step = 240
如图11 所示，两处孔洞扩散到互相接触时与边界碰撞的作用基本相同(图11b~d )，它们之间的相互作用没有阻碍缩孔的继续扩散，且在整个扩散过程中缩孔体积总量恒定为2。
通过这4组模拟结果可以观察到：本工作中的缩孔扩散模型是有方向性、有惯性的，其总量保持守恒，且不会因为各种形状固相的存在而完全阻碍其扩散，也不会出现无法扩散到固相周围或接触到固相后就留滞等不合常理的现象，若有多处扩散，其相互作用也不会影响到扩散继续和总量守恒。
3.2 单枝晶微观缩孔的形成过程
对于单枝晶生长考虑与不考虑收缩两种情况进行数值模拟，假设计算条件为：
(1) 将计算域划分为361 × 361共130321个网格，给全域网格f l 、f s 、f emp 、ρ l 、T 、C l 等物理量赋初值，对应于凝固的初始阶段。
(2) 初始时刻，在计算域中心(180, 180)处设置一个晶核，晶核初始f s = 0.02。
(3) 边界条件，在计算域的4个边界处，给定一个恒定的热流率q = 0.0001，并且假定全计算域以一个恒定值降温T' = 0.00005 (此处均为无量纲化值，T' 为程序温度场中一个时间步全域网格温度的变化量，通过量纲转化可以表达成冷却速率)。
(4) 在给定的初始条件和边界条件下，开始计算枝晶生长。
枝晶在生长过程中由于相变收缩产生的缩孔须通过流场进行扩散，第2节中已经详细给出其机理及可行性，在单枝晶凝固过程中，这种扩散也在进行，直到最终枝晶生长完成。模拟结果如图12 所示，其中图12a1~a5 为不考虑收缩的单枝晶生长的模拟结果，图12b1~b5 为考虑了收缩及扩散的单枝晶生长模拟，这两组结果均为平面二维模拟，不考虑重力的影响。
图12
图12
单枝晶生长的模拟结果(不考虑收缩、考虑缩孔产生及扩散)
Fig.12
Simulation results of monodendritic growth without considering shrinkage (a1-a5) and considering shrinkage generation and diffusion (b1-b5) (f s —solid fraction)
(a1, b1) step = 110 (a2, b2) step = 150 (a3, b3) step = 500 (a4, b4) step = 1321 (a5, b5) step = 1374
图12a1 和b1 分别为两种情况下当计算时间步step = 110时的结果。可见，两图差异不大。当step = 150时，比较图12a2 与b2 ，当考虑到缩孔时，二次枝晶较为发达，且一次枝晶明显较细(图12b2 )，这是因为收缩造成一次枝晶变细，即生长速率减慢，相同时间潜热释放量减小，增大了过冷度，有利于二次枝晶形核，故二次枝晶较为发达。当计算到step = 500时，如图12a3 和b3 所示，可以明显观察到含有缩孔产生及扩散机制的模拟结果中，其二次枝晶数目较多且生长速率较快(图12b3 )。二次枝晶桥接后，不考虑缩孔的模型的计算结果如图12a5 所示。可见，在边界处散热和全计算域温度下降的条件下，随着温度的降低，由边界处向内部全域完全凝固，不含有缩孔；考虑缩孔的模型的最终计算结果如图12b5 所示，在各二次枝晶臂间形成了大量的微小缩孔。
图13 给出了随着温度降低(以计算步作为温度测定点)，本模型的缩孔计算值与理论值的对比情况。其中，理论值的计算公式为：
N t = β V l - s (26)
式中，N t 表示全域缩孔体积分数总和的理论值，V l - s 为全域平均温度为T ¯
N s = ∑ i = 1 n f e m p (27)
式中，N s 表示计算域中全体元胞缩孔体积分数总和的计算值，此时f emp 为在当前与T ¯
由图13 可知，模拟值与理论值极为符合，误差仅为0.70%。因此，对于单枝晶来说，本模型可以准确地计算出缩孔量。
图13
图13
单枝晶计算中得到的缩孔总量与理论值的对比
Fig.13
Comparisons of the total number of shrinkage holes obtained in single dendrite calculations with theoretical values (T ¯ — average temperature of the universal grid, N— number of grids occupied by the total shrinkage hole volume)
3.3 多枝晶微观缩孔的形成过程
计算条件与上述单枝晶模拟相同，在全域的多个网格点处均匀分布25个初始形核点(择优生长方向随机)，每个形核点的初始固相率、形核点位置及择优生长取向如图14 所示。
图14
图14
多枝晶模拟结果(25个形核点位置及不同位向的多晶粒)
Fig.14
Simulation results of polydendritic grains
(a) locations of 25 nucleation points
(b) polycrystalline grains with different site orientations
图15 展示出了多枝晶的生长过程，在初始生长时，由于各枝晶的择优生长取向不同及温度分布的差异，部分枝晶生长较快且个别枝晶长出了二次枝晶(图15a )；之后，随着生长的进行，枝晶臂不断粗化，且有些枝晶的二次枝晶臂与本身的或是邻近的不同枝晶的二次枝晶臂发生桥接(图15b )；经过一段时间的生长及粗化，固相基本充满全域，只剩下众多较小的液相区域(图15c )；最终计算域中的全部液相转变为固相，在不同枝晶间的晶界处能观察到缩孔的存在，在个别枝晶的内部也能观察到因补缩液相不足而产生的缩孔(图15d )。
图15
图15
多枝晶生长示意图
Fig.15
Schematics of polydendrite growth
(a) step = 160 (b) step = 340 (c) step = 1010 (d) step = 1328
缩孔总量计算值与理论值的对比如图16 所示。图16 中的数值计算结果与理论值之差为1.12%。因此，本模型可以较为准确地模拟出多枝晶生长过程产生的缩孔量，并且从凝固理论上分析，微观缩孔也出现在了晶界处。所产生的误差可能与计算机经过多次且大量的运算所导致的浮点数丢失有关。
图16
图16
多枝晶计算中得到的缩孔总量与理论值的对比
Fig.16
Comparisons of the total shrinkage porosity obtained from the multi-dendrite calculations with the theoretical values
4 结论
(1) 采用LBM方法模拟了真空孔洞在流场中的全域扩散过程，最终真空孔洞可以均匀地分布在各液相元胞中，证明所建立的孔洞扩散的LBM方法是正确的。
(2) 对单枝晶凝固收缩过程的模拟表明，缩孔主要分布在最后凝固的一次枝晶与二次枝晶之间，或在二次枝晶与其后续枝晶之间，呈现出对称形态。缩孔的出现对一次枝晶的粗化具有一定阻碍作用，并且促进了二次枝晶的形成和生长。计算得到的全域凝固后缩孔总量与理论值非常接近，误差仅为0.70%。
(3) 在二维多枝晶的模拟中，缩孔主要集中在不同枝晶间的晶界处。这一结果与理论推测相吻合，且全域凝固后的缩孔总量与理论值也非常一致，误差仅为1.12%。
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... [7 ~10 ]；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
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1
2000
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
A comparison of three modeling approaches for the prediction of microporosity in aluminum-silicon alloys
1
2001
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
A three-phase model of hydrogen pore formation during the equiaxed dendritic solidification of aluminum-silicon alloys
0
2002
Modeling of porosity formation in direct chill cast aluminum-magnesium alloys
0
2002
Multiscale modeling for the prediction of casting defects in investment cast aluminum alloys
1
2003
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Simulation of the three-dimensional morphology of solidification porosity in an aluminium-silicon alloy
1
2003
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Evolution of pore morphology and distribution during the homogenization of direct chill cast Al-Mg alloys
0
2007
Pore behaviour during semi-solid alloy compression: Insights into defect creation under pressure
0
2014
Influence of Fe-rich intermetallics on solidification defects in Al-Si-Cu alloys
2
2014
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
... ~18 ].其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Modeling of microporosity, macroporosity, and pipe-shrinkage formation during the solidification of alloys using a mushy-zone refinement method: Applications to aluminum alloys
1
2002
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Computer simulation of shrinkage related defects in metal castings—A review
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2005
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Modeling the effect of finite-rate hydrogen diffusion on porosity formation in aluminum alloys
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2007
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Modeling of microporosity size distribution in aluminum alloy A356
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2011
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Modeling of dendritic growth and bubble formation
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2012
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
枝晶生长和气泡形成的数值模拟
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2012
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
Cellular automaton modeling of microporosity formation during solidification of aluminum alloys
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2014
... 在从理论和实验角度研究这些缺陷形成机制的同时，随着数值模拟技术的引入，研究人员开始将大量精力投入到利用数值模拟对气孔和缩孔的形成过程进行定性和定量分析.关于气孔(也称气缩孔)，Lee等[7 ~18 ] 做了大量研究工作，主要分为3个阶段：(1) 首先，通过对实验观察的数据进行统计分析并对单个孔隙进行跟踪，建立了氢气孔的形核方程及计算模型，完成了初始的理论构建[7 ~10 ] ；(2) 第二阶段是对计算模型的不断完善，使模型不仅可以预测孔隙率，还可以预测其尺寸、形状和分布[11 ~14 ] ；(3) 最后，对各种内部和外在因素(如化学成分、应力作用等)对孔隙率的影响进行了研究[15 ~18 ] .其他研究者也对气孔的形核及生长的数值模型进行了众多研究.Pequet等[19 ] 基于Darcy方程和气体微观偏析的微孔隙率模型开发出了一种可以模拟二维和三维的收缩预测模型；Stefanescu[20 ] 以氢孔为例综述了一些计算气孔率的方法；Carlson等[21 ] 开发了溶体中H有限速率扩散的体积平均模型以预测铝合金凝固过程中的孔隙形成；Yao等[22 ] 假设氢孔为异相形核，将孔隙生长模拟为H由于浓度梯度驱动的扩散过程；吴伟等[23 ] 和Zhu等[24 ] 分别将格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限差分法(finite difference method，FDM)与元胞自动机(cellular automata，CA)结合，对枝晶间的气孔进行了研究. ...
A method of shrinkage prediction and its application to steel casting practice
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1982
... 关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] .然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率.为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] .该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] .之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势. ...
Use of the Niyama criterion to predict porosity of the mushy zone with deformation
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2011
... 关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] .然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率.为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] .该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] .之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势. ...
Numerical prediction of shrinkage defect in aluminum alloy electron beam weld based on Niyama criterion program
0
2014
Discussion on usability of the Niyama criterion for porosity predicting in cast iron castings
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2017
Quantitative estimation of formation of shrinkage porosity by the niyama criterion
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2022
... 关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] .然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率.为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] .该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] .之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势. ...
Prediction of shrinkage pore volume fraction using a dimensionless Niyama criterion
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2009
... 关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] .然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率.为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] .该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] .之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势. ...
Prediction of hot tearing using a dimensionless Niyama criterion
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2014
... 关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] .然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率.为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] .该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] .之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势. ...
Microporosity prediction and validation for Ni-based superalloy castings
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2015
... 关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] .然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率.为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] .该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] .之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势. ...
A pore-centric model for combined shrinkage and gas porosity in alloy solidification
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2017
... 关于不包含气孔的纯粹的微观缩松的数值模型研究，最为著名的是Niyama准则[25 ] ，该准则在实际中得到了广泛应用[26 ~29 ] .然而，Niyama准则数要依靠实验加以确定，且无法定量地描述收缩的孔隙率.为此，Carlson和Beckermann[30 ] 提出了Niyama准则的无量纲形式，无需阈值便可直接计算凝固过程中形成的收缩孔隙量，同时将这种无量纲式扩展为包含外加应变影响的形式，并据此建立了一个模型来模拟这种耦合效应[31 ] .该模型不仅可以识别微孔分布位置，还可以识别其平均体积分数[32 ] .之后，Khalajzadeh等[33 ] 将铸件凝固过程中分别因气体和因收缩引起孔洞的模型组合起来建立了统一的模型，该模型能很好地预测实验观察到的孔隙度趋势. ...
Phase-field modeling of microstructure and gas porosity evolution during solidification of alloys: A review
1
2021
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
合金凝固组织和气孔演变相场模拟研究进展
1
2021
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Microporosity simulation in aluminum castings using an integrated pore growth and interdendritic flow model
1
2007
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Investigation on solidification process of aluminum alloys and casting technologies of complicated structural components
1
2015
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
铝合金凝固过程及其结构件的铸造工艺研究
1
2015
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Hydrogen porosity in directionally solidified aluminium-copper alloys: A mathematical model
1
2001
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Simulation of microporosity formation in modified and unmodified A356 alloy castings
1
1998
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Present status of numerical simulation of micro-porosity in aluminum alloys
1
2007
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
铝合金显微疏松数值模拟的研究现状
1
2007
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Application of lattice boltzmann method to dendrite growth simulation
0
2007
Lattice Boltzmann方法在枝晶生长模拟中的应用
0
2007
Modeling of microporosity formation in an Al-7%Si Alloy
1
2013
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Al-7%Si合金显微气孔形成的模拟研究
1
2013
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Phase-field simulation of micropores constrained by the dendritic network during solidification
1
2011
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Multiphase and multiphysics modeling of dendrite growth and gas porosity evolution during solidification
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2021
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
Phase-field modeling of microstructure evolution during solidification in presence of gas bubble
1
2016
... 在有关气孔形成的数值模型研究中，主要包括氢扩散控制的气泡生长模型、随机模型和相场模型[34 ] .Becker和Wang[35 ] 将氢扩散生长形核模型与枝晶间流动模型结合，建立了新的预测铝合金微孔隙率计算模型，这种新的综合孔隙生长和枝晶间流动的模型能够预测孔径较大的缩孔以及缩孔的体积分数，且与实验观察结果更为吻合.刘永勤[36 ] 在综合考虑H含量、凝固收缩及界面张力等因素的基础上，建立了枝晶形态的微观孔洞数值模型，研究了铝合金微孔形成的临界固相分数以及影响因素.随机模型是在氢扩散控制的气泡生长模型基础上，通过概率方法来预测气泡形核过程[37 ] .Huang等[38 ] 将H2 析出和缩孔形成机制与晶粒生长模拟模型相耦合，采用概率方法计算晶粒形核和演变过程，其模拟结果与实验数据具有很好的相关性.朱明芳团队[39 ~41 ] 采用CA和LBM模型，对枝晶和气孔的形核与生长、溶质和H的再分配与扩散以及显微收缩进行了深入研究，模拟结果与实验观察数据较为吻合.相场法通过引入序参数来表示系统的状态，避免了界面跟踪的困难且具有严谨的物理机制.Meidani和Jacot[42 ] 在相场模型中引入3个序参数计算固、液、气三相的分布，但该模型对固相网格形状处理过于简化.随后研究者们采用多相场模型[43 ] 并引入多个序参数[44 ] 进一步完善了考虑孔隙演变的相场模型.对于凝固过程中孔隙演变的数值模拟研究，从建立简单的孔隙形核生长的解析模型再到考虑与组织相互作用的复杂模型，如何建立一个能同时预测组织生长和孔隙形貌及分布的新模型仍需进一步完善. ...
A cellular automaton-lattice Boltzmann method for modeling growth and settlement of the dendrites for Al-4.7%Cu solidification
1
2018
... 对于流场，其分布函数可表示为[45 ] ： ...
Simulation of flow around cylinder with lattice Boltzmann method
1
2002
... 在LBM流场计算中，计算域边界条件采用标准反弹格式[46 ] ，该格式能够保证质量和动量守恒，且操作简单.而在枝晶和熔体的固/液界面处，为了保证液相率的守恒，将界面元胞视为计算的边界并采用标准反弹格式计算分布函数.以下边界为例，如图3 所示，自流体节点(x - 1, 1)、(x , 1)、(x + 1, 1)对应的分布函数f 8 、f 4 、f 7 不发生碰撞即沿原路弹回，由此可获得节点(x , 0)上的f 6 、f 2 、f 5 ，即： ...
圆柱绕流的LBM模拟
1
2002
... 在LBM流场计算中，计算域边界条件采用标准反弹格式[46 ] ，该格式能够保证质量和动量守恒，且操作简单.而在枝晶和熔体的固/液界面处，为了保证液相率的守恒，将界面元胞视为计算的边界并采用标准反弹格式计算分布函数.以下边界为例，如图3 所示，自流体节点(x - 1, 1)、(x , 1)、(x + 1, 1)对应的分布函数f 8 、f 4 、f 7 不发生碰撞即沿原路弹回，由此可获得节点(x , 0)上的f 6 、f 2 、f 5 ，即： ...
Virtual front tracking model for the quantitative modeling of dendritic growth in solidification of alloys
1
2007
... 枝晶生长采用Zhu和Stefanescu[47 ] 提出的溶质扩散型模型，由平衡浓度与实际浓度之差作为驱动力驱使枝晶在界面元胞处生长，生长方程为： ...
Large-scale parallel lattice Boltzmann-cellular automaton model of two-dimensional dendritic growth
1
2014
... 当界面元胞的f s 达到1时，元胞转变为固相元胞并捕获周围的液态元胞，使之成为界面元胞，本工作采用的捕获方式为八邻居捕获法则[48 ] . ...
