金属学报(中文版) 2018 , 54 (9): 1322-1331 https://doi.org/10.11900/0412.1961.2017.00553

Orginal Article

基于三维离散位错动力学的fcc结构单晶压缩应变率效应研究

郭祥如¹^,², 孙朝阳¹^,²^,, 王春晖¹^,², 钱凌云¹^,², 刘凤仙³

1 北京科技大学机械工程学院北京 100083
2 北京科技大学金属轻量化成形制造北京市重点实验室北京 100083
3 清华大学航天航空学院应用力学教育部重点实验室北京 100084

Investigation of Strain Rate Effect by Three-Dimensional Discrete Dislocation Dynamics for fcc Single Crystal During Compression Process

GUO Xiangru¹^,², SUN Chaoyang¹^,²^,, WANG Chunhui¹^,², QIAN Lingyun¹^,², LIU Fengxian³

1 School of Mechanical and Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China
2 Beijing Key Laboratory of Lightweight Metal Forming, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China
3 Applied Mechanics Lab., School of Aerospace Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China

中图分类号: TG142.1

文章编号: 0412-1961(2018)09-1322-11

通讯作者: 通讯作者孙朝阳,suncy@ustb.edu.cn,主要从事材料多尺度力学行为、塑性加工理论及应用、难变形合金热挤压理论及应用、轻量化成形制造的研究

收稿日期: 2017-12-22

网络出版日期: 2018-09-11

基金资助: 国家自然科学基金项目No.51575039和国家自然科学基金委员会-中国工程物理研究院联合基金项目No.U1730121

作者简介:

作者简介郭祥如,男,1989 年生,博士生

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摘要

基于位错理论建立了Ni单晶微柱压缩变形过程的三维离散位错动力学模型,该模型考虑了晶体塑性变形过程中位错所受的外载荷、位错间相互作用力、位错线张力及自由表面镜像力的影响。应用该模型研究了Ni单晶微柱压缩变形过程中流动应力和变形机制的应变率效应,同时,结合理论分析研究了应变率对流动应力中有效应力、位错源激活应力和位错间弹性相互作用力的影响。结果表明：当应变率较低时,Ni单晶微柱压缩变形中位错源激活应力主导流动应力,位错源激活数量较少,初始位错密度对流动应力影响很小,呈现单滑移变形;随着应变率增加,晶体变形过程中的流动应力随之增加,流动应力中位错源激活应力所占比例逐渐减小,有效应力逐渐主导流动应力,同时激活多个滑移系内的位错源来协调塑性变形;应变率越高,各激活滑移系内的塑性应变贡献相差越小,单晶微柱变形逐渐由单滑移向多滑移机制转变;在高应变率条件下,晶体初始位错密度越高塑性变形过程中流动应力越小。

关键词： 离散位错动力学 ; 塑性变形 ; 应变率 ; 流动应力 ; 变形机制

Abstract

Microelectromechanical systems (MEMS) have become increasingly prevalent in engineering applications. In these MEMS, a lot of micro-components, such as thin films, nanowires, micro-beams and micropillars, are utilized. The characteristic geometrical size of those components is at the same scale as that of grain, the mechanical behavior of crystal materials exhibits significant size effect and discontinuous deformation. In addition, those MEMS are often subjected to high strain rate at work, such as collision and impact loading. The coupling deformation characteristics of small scale crystals and high strain rate makes their mechanical behavior more complicated. Accordingly, investigation of the effect of the strain rate on crystal materials at micron scale is significant for both the academia and industry. In this work, a plastic deformation model of fcc crystal under axial compression was developed based on three-dimensional discrete dislocation dynamics (3D-DDD), which considered the influence of externally applied stress, interaction force between dislocation segments, dislocation line tension and image force from free surface on dislocation movement during the process of plastic deformation. It was applied to simulate the plastic deformation process of a Ni single crystal micropillar during compression under different loading strain rates. 3D-DDD and theoretical analysis are carried out to extensively investigate the effect of strain rate on flow stress and deformation mechanisms during plastic deformation process of crystal materials. The results show that the flow stress and the dislocation density increased with the loading strain rate. In the case of low strain rate, the flow stress was dominated by the activation stress of Freak-Read (FR) source in plastic deformation. With the increase of strain rate, the contribution of activation stress of FR source to the flow stress decreases and the effective stress gradually dominated the flow stress. Under high strain rate loading, with the increase of the initial FR source, the dislocation density also increased at the same strain correspondingly, which makes it easier to meet the requirement of the loading strain rate, so the flow stress is smaller. In addition, under the low strain rate loading, a few activated FR sources can meet the requirement of the plastic deformation, a single slip deformation come up as a result. While, as the loading strain rate increases, more and more activated FR sources would be needed to coordinate the plastic deformation, the deformation mechanisms of the single crystal micropillar transformed from single slip to multiple slip.

Keywords： discrete dislocation dynamics ; plastic deformation ; strain rate ; flow stress ; deformation mechanism

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郭祥如, 孙朝阳, 王春晖, 钱凌云, 刘凤仙. 基于三维离散位错动力学的fcc结构单晶压缩应变率效应研究[J]. 金属学报(中文版), 2018, 54(9): 1322-1331 https://doi.org/10.11900/0412.1961.2017.00553

GUO Xiangru, SUN Chaoyang, WANG Chunhui, QIAN Lingyun, LIU Fengxian. Investigation of Strain Rate Effect by Three-Dimensional Discrete Dislocation Dynamics for fcc Single Crystal During Compression Process[J]. Acta Metallurgica Sinica, 2018, 54(9): 1322-1331 https://doi.org/10.11900/0412.1961.2017.00553

近年来,一系列小尺寸的fcc结构晶体材料在微机电系统生产中得到了广泛的应用^[1,2,3],如Ni微柱^[4]、Cu微柱^[5]、Cu薄膜^[6]、Ag纳米线^[7]、Au纳米线^[8]等。由于这些构件尺寸与晶粒尺寸同处于亚微米尺度,其力学行为表现出很强的尺寸效应和时空不连续性^[4,9,10]。此外,微器件在服役过程中经常遭受高应变率载荷,例如碰撞和冲击等^[2]。随着应变率增加,晶体材料的动态力学响应逐渐复杂,涉及很多物理机制(如位错滑移、孪生、相变等)的相互作用^[11]。尽管针对小尺寸晶体材料塑性力学行为及变形机理进行了大量的实验和理论研究^[4,10,12~15],但由于该尺度下晶体材料塑性行为的离散性和高应变率下变形机制的复杂性,人们依然对小尺寸晶体应变率相关的变形机制及特点知之尚少^[7,11]。由于位错运动是晶体材料塑性变形的基本载体,因此有必要对小尺寸晶体材料塑性变形过程中位错演化及其力学响应的应变率效应进行深入研究。

研究人员^[3,16~19]采用现代实验技术(如高速拉伸实验、Hopkinson实验等)结合显微检测手段对块体多晶材料在不同应变率下的力学行为及微结构演化进行了系统的研究。结果表明,块体多晶材料塑性变形过程中位错密度随应变率增加而增加,屈服强度也随之增加。此外,块体多晶材料塑性变形中硬化行为主要由高位错密度下的位错间相互作用力主导,流动应力多用Taylor模型描述( $τ \propto$ $\sqrt{\rho}$,其中 $τ$ 为流动应力, $ρ$ 为位错密度)^[16]。在亚微米尺度下,研究人员研究了单晶材料不同应变率下的塑性变形行为,并得到了相似的结果。Zhang 等^[20]对Cu单晶微柱进行了不同应变率下的压缩实验,结果表明,单晶微柱变形过程中屈服强度随应变率增加而增加。Oh等^[21]采用原位透射电镜研究了Al单晶微柱内位错形核及逃逸过程,结果表明,低应变率下晶体塑性变形过程中位错增殖和逃逸保持动态平衡,位错密度保持恒定不变,当加载应变率突然增加时,流动应力和位错密度急剧增加。然而,在小尺寸单晶中,晶体内位错滑移距离较小,同时位错受到自由表面镜像力吸引,位错从表面的逃逸速率会超过位错增殖速率,造成位错密度下降,此时与位错匮乏或位错源截断相关的位错源强化机制将主导材料的硬化行为^{[4,5,10,12,22,23]}。随着加载应变率增加,晶体内位错演化机制发生了转变。Jennings 等^[13]研究了不同应变率下Cu单晶微柱的力学行为,结果表明,随着加载应变率升高,Cu单晶的屈服强度随之增加,当晶体内部位错数量不足以满足加载应变率时,晶体塑性变形机制从位错增殖转向位错形核,体现了位错匮乏机制引起的位错源强化主导硬化行为。随后Armstrong等^[24]研究了Cu单晶柱在不同应变率下的位错机制,分析表明,在较低应变率下,晶体内位错运动主要克服位错间相互作用力,而应变率对流动应力影响较小;随着加载应变率增加,晶体中变形机制由位错增殖转向位错形核,流动应力呈线性急剧增加。尽管实验研究给出了不同应变率下流动应力及位错机制演化特点,然而实验过程中很难实时跟踪位错反应演化细节过程,不能给出空间三维状态下应变率对位错构型及变形机制的影响。因此,研究者^[25,26]采用数值模拟的方法研究小尺寸晶体材料塑性变形特点,以此来弥补实验的不足。三维离散位错动力学(three-dimensional discrete dislocation dynamics,3D-DDD)方法能够精确描述位错演化信息,近年来该方法被广泛应用于模拟小尺寸晶体材料塑性变形过程中微结构演化^[11,27]。Hu等^[28]采用3D-DDD方法研究了Cu单晶柱在不同应变率下的塑性变形行为,其中针对400 nm单晶柱的模拟结果表明,随着应变率增加,晶体内位错机制由位错增殖转向表面位错源形核。Gurrutxage-Lerma等^[29]采用3D-DDD系统地研究了Frank-Read 位错源在不同应变率(10¹~10¹⁰ s^-1)下的力学响应,并对激活时间和位错源强度进行讨论,模拟结果表明,当加载应变率较低时,Frank-Read位错源强度与应变率成正比例关系,屈服强度随应变率增加而增加,当加载应变率超过某一范围时,Frank-Read 位错源的激活无法产生足够的塑性应变率,塑性变形过程的位错机制将会从Frank-Read 位错源激活转变为位错的均匀形核。此外,Liu等^[11]采用3D-DDD研究了应变率对屈服应力和变形机制的影响,结果表明,随着应变率增加,晶体屈服应力和位错密度随之增加,应变率相关的有效应力逐渐主导流动应力,同时在高应变率下,位错从多滑移机制逐渐转变成最后的单滑移机制,位错滑移主要集中在单个滑移系里。上述表明3D-DDD模拟结果与实验结果具有良好的一致性,针对小尺寸单晶材料,随着应变率增加,晶体变形过程中的流动应力和位错密度增加,更多的位错源被激活来协调塑性变形。然而目前研究没有对不同应变率下的流动应力进行定量分析,也未给出不同应变率下晶体内位错演化及其对变形机制的影响。

本工作通过三维离散位错动力学和理论分析对上述问题展开系统的研究。首先基于3D-DDD理论建立Ni单晶微柱压缩变形模型,并结合实验验证该模型的可靠性。随后采用该模型模拟Ni单晶微柱不同应变率下压缩的微观变形机制及力学响应,揭示不同应变率下Ni单晶微柱流动应力和位错演化特点。同时将应变率效应引入理论流动应力模型,定量分析不同应变率条件下的应力组成,并分析初始位错密度对流动应力的影响。此外,通过模拟不同应变率下位错微结构演化特征,分析应变率对单晶变形机制的影响。

1 单晶微柱的离散位错动力学模型建立

1.1 三维离散位错动力学方法

3D-DDD方法以线弹性理论为基础,把位错模拟成弹性体中的线缺陷。如图1所示,在特定的晶体取向([001])下,将滑移面上的弯曲位错线(AD)离散成一系列首尾相连的直位错段(AB、BC、CD),离散化后的位错段包含了刃型位错与螺型位错的混合特点,每个位错段之间通过位错节点相连接,位错段和节点可以占据空间中的任意位置,然后采用运动方程对每一段位错线进行描述^[30]。

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图1 位错曲线离散化示意图

Fig.1 Discretization of dislocation line (The black solid line is the original dislocation line, the blue segments represent the discrete dislocation segments, b_i is the Burgers vector of dislocation segment i)

经过离散化处理后,位错段i运动方程可表示为^[31,32]：

$M {\dot{v}}_{i} + B v_{i} = f_{i}$ (1)

式中, ${\dot{v}}_{i}$ 、v_i和f_i分别为位错段i的节点运动加速度矢量、速度矢量和力矢量,M和B分别为对应位错段i的有效质量矩阵和阻尼系数矩阵。由于位错初始加速很快,能够在非常短的时间和距离(甚至小于1 nm)内达到稳定状态,因此这里忽略了与M相关的惯性力影响^[29]。上述运动方程可简化为^[11,31,32]：

$B v_{i} = f_{i}$ (2)

假设每个位错段在所有滑移系上的运动能力是相同的,B可以表示为：

$B = \int_{l} B_{0} N^{T} N d l$ (3)

式中,N为形函数矩阵,B₀为位错运动的静态黏性阻尼系数,l为位错段长度。

f_i可以表示为：

$f_{i} = \int_{l} N^{T} f d l$ (4)

式中,f为单位长度位错段受到的作用力。根据位错理论其可以表示为^[33]：

$f = [(σ_{app} + σ_{int} + σ_{img}) ∙ b_{i}] \times ξ_{i} + f_{self}$ (5)

式中,等号右边第一项为位错段i在应力场中受到的Peach-Koehler力,其中 $σ_{app}$ 为外部载荷引起的应力场, $σ_{int}$ 为晶体内部其它位错段在位错段i位置的应力场, $σ_{img}$ 为位错段i受到的自由表面引起的镜像力,b_i为位错段i的Burgers矢量, $ξ_{i}$ 为位错段i的单位方向矢量,f_self为位错段i的线张力。在计算晶体内部目标位错段受到其它位错段的作用力时,要分别考虑相邻位错段和非相邻位错段对目标位错段的应力场。如图1中的AB段受到非相邻位错段CD段的作用力时,应力张量为CD段在AB段中点所产生的应力张量。在计算相邻位错段间作用力时,如AB段和BC段(存在共享节点B)。由于位错段间距太近时应力场变化急剧(以1/r变化,r为位错段间距),为了避免距离太近造成的奇异性,基于Cai等^[34]发展的非奇异位错理论,通过引入位错核扩展半径(a)计算相邻位错间相互作用力。当位错弯曲时,位错的线张力使位错受一指向曲率中心的力,该力力求把位错线变直,位错线张力的大小等于单位长度位错线能量^[34]。

当晶体内位错运动至自由表面时,位错在自由表面镜像力的作用下有逸出表面的倾向,因此针对小尺寸晶体材料,位错段运动过程中需要考虑镜像力的影响。自由表面附近的单位长度位错段受到的镜像力F可以表示为^[35]：

$\{\begin{array}{l} d F = \frac{1}{λ} (E (φ) \tan θ + \frac{\partial E (φ)}{\partial θ}) d l \\ E (φ) = \frac{μ b^{2} (1 - ν co s^{2} φ)}{4 π (1 - ν)} \end{array}$ (6)

式中,θ为位错段与自由表面和滑移面交线的法线的夹角,φ为位错段和Burgers矢量之间的夹角,λ为位错段与自由表面交点距离,μ为剪切模量,ν为Poisson比,b为Burgers矢量模。

当位错段沿着滑移方向运动后扫过一个截面,进而产生塑性变形,位错运动过程中产生的塑性应变率 ${\dot{ε}}_{p}$ 可用下式计算：

${\dot{ε}}_{p} = ρbυ = \frac{1}{2 V} \overset{N_{tot}}{\sum_{i = 1}} l_{i} υ_{i} (b_{i} \otimes n_{i} + n_{i} \otimes b_{i})$ (7)

式中, $υ$ 为位错运动速率,V为晶体体积,N_tot为全部位错段数量,l_i为位错段i的长度, $υ_{i}$ 为位错段i的速率,n_i为位错段i所在滑移面法向。

1.2 Ni单晶微柱压缩过程的模型

基于上述3D-DDD方法建立了小尺寸fcc结构单晶微柱单轴压缩模型,模拟不同应变率下晶体内的位错演化和力学响应。以Ni单晶微柱为研究对象,假设其为各向同性材料。结合Dimiduk等^[4]对晶粒尺寸为1~40 μm的Ni单晶微柱的准静态压缩加载,当晶粒尺寸≤5 μm时,单晶微柱呈单滑移变形,随着晶粒尺寸增大,晶体内开启的滑移系数量增多,Ni单晶柱变形后接近多晶体变形。为了便于与实验结果对比,本工作选取这一临界晶粒尺寸5 μm。同时,为了便于计算自由表面的镜像力,模拟晶粒尺寸为5 μm×5 μm×5 μm的立方微柱,在单晶微柱中建立如图2a所示的XYZ三维直角坐标系,其中3个坐标轴对应的晶向分别为X[100]、Y[010]和Z[001]。为了减小计算量,在单晶体的12个滑移系中对称性地选取其中4个滑移系(111)[101]、(111)[101]、(111)[011] 和(111)[110],如图2a所示,各滑移系Schmid因子分别为0.408、0.408、0.408 和0^[11]。在每个滑移系中随机放置4个Frank-Read位错源,每个位错源的长度为1 μm,每个滑移系中的位错线用不同颜色表示(红色对应(111)[101]滑移系,蓝色对应(111)[101]滑移系,紫色对应(111)[011]滑移系,蓝绿色对应(111)[110]滑移系),这样得到初始位错密度(ρ₀)为1.28×10¹¹ m^-2。Frank-Read位错源在演化过程中与自由表面反应,自动生成单臂位错源。材料参数如下：μ=76 GPa,ν=0.31,b=0.256 nm,B₀=10^-4 Pa·s^[33]。

将得到的初始位错构型进行应力松弛,该过程类似工程实际中的退火处理。即在不施加任何外力条件下,让初始位错构型在位错间相互作用力和自由表面镜像力的作用下自然演化,直到 ${\dot{ε}}_{p}$ 不超过10 s^-1时认为达到稳定状态,如图2b所示,经过应力松弛后的位错段略有弯曲,此时的 ${\dot{ε}}_{p}$ 接近0。对上述弛豫后得到的Ni单晶微柱的上表面沿着Z轴负方向([001] 晶体取向)施加不同的应变率,单晶微柱的下表面固定约束。

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图2 单晶Ni的12个滑移系中对称选取4个滑移系、初始位错源应力松弛过程中的塑性应变率演化(插图为位错松弛后的位错构型)

Fig.2 Four slip systems are chosen symmetrically in twelve slip systems of single crystal Ni (a) and plastic strain rate evolution during stress relaxation (b) (Inset in Fig.2b shows the corresponding dislocation snapshot after stress relaxation)

2 模型验证

2.1 流动应力演化验证

图3为3D-DDD模拟的晶粒尺寸为5 μm的Ni单晶微柱在应变率为2×10² s^-1压缩下的应力和位错密度随着应变演化及文献[4]中实验统计结果的对比情况。可以看出,3D-DDD模拟得到的应力-应变曲线呈现明显的锯齿状,这与应变率加载下实验中观察到的曲线走向相一致^[36]。本工作将应变率2×10² s^-1时的3D-DDD模拟结果与实验中的准静态压缩结果相对比,这是因为在3D-DDD模拟中,应变率小于1×10³ s^-1时均可认为准静态结果。此外,Armstrong等^[24]模拟结果表明,当应变率小于1×10³ s^-1时,应变率对流动应力及位错密度演化影响较小,因此本工作采用该应变率与实验中准静态结果进行对比。文献[4]中Ni单晶压缩加载方向为[269]晶体取向,本工作将晶体取向为[001]的模拟结果与晶体取向为[269]的实验结果进行对比,这是因为Zhou等^[33]研究表明,沿[001]和[269]取向加载的试样流动应力很接近。从图3中可以看出,实验测定的稳定流动应力范围为80~180 MPa。Cui等^[36]采用应变率载荷和应力载荷2种加载方式进行单晶Cu压缩模拟,其中应变率加载时的波峰与应力加载时的稳定流动应力相等,因此将模拟结果中流动应力波峰值与实验结果对比。从图3可以看出,应变率为2×10² s^-1时的流动应力稳定波峰值约为110 MPa,3D-DDD模拟结果与实验结果具有良好的一致性。

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图3 晶粒尺寸为5 μm的Ni单晶微柱在恒定应变率2×10² s^-1时单向压缩下的应力和位错密度随着应变演化的3D-DDD模拟结果和文献[4]中实验统计结果的对比

Fig.3 Comparisons of 3D-DDD simulated and experimental statistical^[4] results of stress and dislocation density with strain under constant strain rate 2×10² s^-1compression loading of Ni single crystal micropillar with a diameter of 5 μm

2.2 塑性变形机制验证

图4为加载结束时Ni单晶微柱的SEM像^[4]和位错构型。可以看出,在低应变率加载时,晶体在压缩过程中仅有(111)[101] 滑移系内的位错源被激活,晶体出现了单滑移变形,这与实验中Ni单晶微柱压缩变形机制符合。为了进一步揭示低应变率下晶体材料的塑性变形过程,图5给出了Ni单晶微柱不同压缩应变时的位错构型图。可以看出,在低应变率载荷作用下,Ni单晶内仅有[101](111)滑移系中某个位错源激活,随后该滑移系上的位错源增殖,位错环不断扩大,最终一部分位错在晶体自由表面逃逸形成单臂位错源,随后该位错源循环往复地进行增殖、长大和表面逃逸,不断地扫过晶体内部,产生塑性应变,进而产生实验中观察到的单滑移变形。然而,晶体内部究竟是哪一个位错源被激活目前还无法确定,这与晶体内部位错类型、位错源长度、位错源受力状态等因素相关。

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图4 变形后Ni单晶微柱的SEM像^[4]与3D-DDD模拟的位错构型

Fig.4 SEM image of Ni single crystal micropillar (a)^[4] and dislocation snapshot after compression (b)

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图5 应变率为2×10² s^-1下Ni单晶微柱不同压缩应变时的位错构型图

Fig.5 Dislocation snapshots corresponding to strains of 0.03% (a), 0.20% (b), 0.27% (c), 0.43% (d), 0.55% (e) and 0.70% (f) in the compression process of Ni single crystal micropillar

3 结果和讨论

3.1 流动应力的应变率效应

为了研究应变率对晶体材料塑性行为的影响,将经过应力松弛后具有同一初始位错构型的Ni单晶微柱在不同应变率下压缩,应变率分别为2×10²、1×10³、1×10⁴、2×10⁴和5×10⁴ s^-1。图6给出了不同应变率下的应力和位错密度随应变演过结果以及应变为0.8%时的位错构型图。可以看出,随着应变率升高,材料屈服应力增加,相同应变时开启的滑移系数量增多,位错密度也随之增加。下面结合晶体塑性变形过程中的位错演化特征,详细分析应变率对流动应力及塑性变形的影响。

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图6 晶粒尺寸为5 μm的单晶Ni沿着[001]取向在不同应变率载荷压缩下的真应力和位错密度随应变演化结果及不同应变率下应变为0.8%时的位错构型。

Fig.6 3D-DDD simulation results of stress (a) and dislocation density (b) with strain under different strain rates compression of Ni single crystal micropillar with a diameter of 5 μm, and dislocation snapshots corresponding to true strain 0.8% in the compression ( $ε ˙$ —strain rate ) (c)

为了进一步揭示应变率对材料力学行为的影响,对上述模拟结果进行定量分析。根据滑移方向的力学平衡条件,流动应力(τ)可以分解为应变率相关的有效应力(τ^*)、位错密度相关的位错间弹性相互作用力(τ_α)和位错源激活应力τ_FR之和^[11,37]：

$τ = τ^{*} + τ_{α} + τ_{FR}$ (8)

其中：

$τ^{*} = \frac{B_{0} \dot{γ}}{b^{2} ρ}$ (9)

$τ_{α} = αμb$ $\sqrt{\rho}$ (10)

$τ_{FR} = \frac{kμb}{L}$ (11)

式中, $\dot{γ}$ 为剪应变率;L为有效位错源长度;α和k为无量纲常数,一般α取值为0.5,k取值为1^[37]。

研究^[38]表明,有效位错源长度会随着位错演化而变化,其演化形式可以表示为：

$L=\frac{bD\sqrt{\rho}}{\beta } $ (12)

式中,D为有效晶粒尺寸,β为无量纲常数。根据初始时L₀和ρ分别为1 μm和1.28×10¹¹ m^-2,可以计算出β=1.6×10^-3。因此与有效位错源长度相关的应力可更改为 $τ_{FR} =$ $\beta / (D\sqrt{\rho})$

为了定量分析3D-DDD模拟流动应力中各应力组成,分别将不同应变率下不同应变时的位错密度和塑性应变率带入式(9)~(11),得到不同应变率下稳定流动应力中各应力组成,如图7所示。表1给出了Ni单晶微柱在不同应变率下不同应变对应的位错密度,该位错密度为一应变范围内的平均位错密度,如应变0.2%时的位错密度为应变0.15%~0.25%范围内的位错密度平均值。从图6a中可见,晶体的流动应力在某一值附近波动,说明屈服后的平均塑性应变率与加载应变率相等。从图7中可以看出,3D-DDD模拟得到的流动应力与理论模型计算结果吻合良好。图7a和b表明,当应变率不超过1×10³ s^-1时,流动应力中τ^*很小,可以忽略,与文献[21]中应变率不超过1×10³ s^-1时可看做准静态的结果一致。同时,当加载应变率较低时,晶体内位错源激活数量较少,位错密度较低,τ_α较弱。低应变率下Ni单晶微柱的流动应力主要由τ_FR主导,这与前人的计算结果相一致^[24]。随着应变率增加,单个滑移系演化不能满足应变率要求,滑移系启动数量增加,位错密度随之增加,τ_α和τ^*增加。当应变率为5×10⁴ s^-1时,从图7d可以看出,晶体的流动应力并未出现其它加载应变率中应力立即下降的现象,而是在一定应变内流动应力以较低的硬化模量持续上升。这说明此时的塑性应变率仍然小于加载应变率。从式(7)可以看出,塑性应变率主要与晶体内位错密度和位错运动速率相关,而当加载应变率较高时,即使晶体内全部位错源启动,晶体内位错产生的塑性应变率仍然未能达到加载应变率,进而导致材料出现硬化现象,流动应力水平升高,以提高位错密度与位错运动速率。

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图7 应变率分别为2×10²、1×10³、1×10⁴和 5×10⁴ s^-1下流动应力中各组成应力的贡献

Fig.7 Respective contributions of τ^*, τ_α and τ_FR to the flow stress during plastic deformation under strains rate of 2×10² s^-1 (a), 1×10³ s^-1 (b), 1×10⁴ s^-1(c) and 5×10⁴ s^-1 (d) (τ^* is the effective stress on the dislocation, τ_α is the elastic interaction stress related to dislocation density, τ_FR is the critical resolved shear stress to activate FR source)

表1 Ni单晶微柱在不同应变率载荷下不同应变时对应的位错密度

Table 1 Dislocation densities corresponding to different strains of Ni single crystal micropillar under different strain rates

$\dot{ε}$ / s^-1	ε / %	ρ / 10¹¹ m^-2
2×10²	0.1	1.3
	0.3	1.3
	0.5	1.3
	0.7	1.3
1×10³	0.2	1.7
	0.4	1.7
	0.6	1.8
	0.8	1.7
1×10⁴	0.2	5.3
	0.4	5.6
	0.6	6.8
	0.8	6.7
5×10⁴	0.2	7.2
	0.4	7.7
	0.6	8.9
	0.8	9.3

Note: $ε$ —strain, ρ—dislocation density

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上述分析表明,位错密度对流动应力影响较大,而初始位错源密度直接影响位错密度演化结果,因此需要进一步分析初始位错源密度对晶体材料力学行为的影响。与上述3D-DDD建模相似,在Ni单晶中选取与前文相同的4个滑移系,在每个滑移系中分别随机放置数量为4、12和16的Frank-Read位错源, 每个位错源长度为1 μm,得到3组不同初始位错密度的初始位错构型。将3组初始位错构型在位错间相互作用力和自由表面镜像力的作用下进行应力松弛,直至晶体塑性应变率恒小于10 s^-1,最终得到初始位错源密度分别为1.2×10¹¹、3.6×10¹¹和5.2×10¹¹ m^-2的3组位错构型。然后将松弛之后的Ni单晶微柱沿着晶体取向[001]方向进行不同应变率压缩。图8给出了Ni单晶微柱在应变率分别为2×10²和5×10⁴ s^-1时3组不同初始位错源密度下流动应力和位错密度随应变演化结果。可以看出,在低应变率下,3组单晶体塑性变形过程中屈服应力和稳定流动应力结果相近,即初始位错密度对流动应力影响很小,同时位错密度演化结果与初始位错源密度相近。这主要是因为在低应变率下,晶体塑性变形的主要激活应力由位错源激活应力主导,而增加初始位错密度并未改变初始位错源长度,因此低应变率条件下的流动应力演化结果相近。同时低应变率载荷下激活极少的位错源就能满足加载应变率要求,因此变形过程中位错密度与初始位错密度接近。在高应变率条件下,在变形过程中初始位错源密度较高的晶体材料能够产生的位错密度也相对较高,这是因为在高应变率条件下,位错源激活数量较多,初始位错源密度较高的晶体能够激活更多数量的位错源,从而产生更高的位错密度。然而,初始位错源密度较高的晶体所对应的流动应力要低于初始位错源较少晶体的流动应力。这是因为在较高应变率条件下,当晶体内位错源数量较少时,即使晶体内全部位错源启动,晶体内位错产生的塑性应变率仍然未能达到加载应变率,此时需要增加流动应力来增加位错密度与位错运动速率,进而增加塑性应变率。当晶体内位错源数量较多时,晶体内位错源激活产生的位错密度能满足加载应变率要求,此时不需要进一步增加流动应力。从图8中可以看出,初始位错源密度为5.2×10¹¹ m^-2的Ni单晶微柱在屈服后并未像较低初始位错密度条件下流动应力继续上升,而是与低应变率下的应力应变演化结果一样,出现了应力下降。从式(9)也可以看出,在给定应变率条件下,位错密度越高所对应的有效应力越低,而在高应变率条件下,流动应力主要由与应变率相关的有效应力决定,因此在高应变率条件下,初始位错源密度越高所对应的流动应力越小。

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图8 Ni单晶微柱在应变率分别为2×10²和5×10⁴ s^-1时不同初始位错密度下流动应力和位错密度随应变演化结果

Fig.8 Simulation results of flow stress and dislocation density with different initial dislocation densities ρ₀ under strain rates of 2×10² s^-1(a) and 5×10⁴ s^-1(b)

3.2 变形机制的应变率效应

当晶体中的分剪应力达到了Frank-Read位错源激活的临界应力时,位错源将被激活进而产生塑性变形。当晶体内位错运动产生的塑性应变率与外载荷施加的应变率相等时,此时进入屈服状态。随着应变率的增加,越来越多滑移系内的Frank-Read位错源被激活来协调高应变率下的塑性变形。

图9给出了初始位错密度为1.2×10¹¹ m^-2的Ni单晶微柱在不同应变率压缩变形下4个滑移系分别产生的塑性应变。可以看出,当加载应变率为2×10² s^-1时,4个滑移系产生的塑性应变积累呈现明显的不均匀分布,[101](111)滑移系所产生的塑性应变远超过其它3个滑移系的塑性应变,进而导致了晶体材料变形过程中的单滑移变形,这与文献中实验结果相符合^[4]。随着应变率的增加,被激活的滑移系数量增加,变形机制由单滑移向多滑移转变。当加载应变率为5×10⁴ s^-1时,[101](111)、[101](111)和[011](111)滑移系内所有的位错源被激活,它们所贡献的塑性应变相差较小。由于[110](111)滑移系所对应的Schmid因子为0,因此该滑移系在塑性变形过程中始终未激活,其塑性应变始终为0。上述模拟结果表明,随着应变率的增加,晶体材料塑性变形机制由单滑移向多滑移转变。这是因为在较低加载应变率时,晶体材料内任意一个滑移系开启所产生的塑性应变率就能满足加载应变率的要求,因此低应变率载荷下晶体内开启的滑移系数量极少,呈现单滑移开动,变形高度局部化。而在高应变率条件下,单一滑移系内的位错运动所产生的塑性应变率不能满足加载应变率的要求,因此需要多个滑移系内的多个位错源共同开启来满足应变率要求,进而协调塑性变形,因此高应变率下变形机制更接近块体多晶材料。

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图9 初始位错密度为1.2×10¹¹ m^-2的Ni单晶微柱在应变率分别为2×10²、 1×10³、1×10⁴和 5×10⁴ s^-1 的压缩变形过程中各滑移系累积的塑性应变

Fig.9 Plastic strains contributed by four slip systems with initial dislocation density of 1.2×10¹¹ m^-2under loading strain rates of 2×10² s^-1 (a), 1×10³ s^-1 (b), 1×10⁴ s^-1 (c) and 5×10⁴ s^-1(d)

为了进一步研究应变率对塑性变形机制所产生的影响,图5和10分别给出了加载应变率为2×10²和5×10⁴ s^-1条件下不同应变时所对应的位错构型。当加载应变率为2×10² s^-1时,随着变形过程中应力增加,[101](111)滑移系中某一随机的位错源激活并开始弓出,随后位错源增殖,位错环不断扩大,最终位错在晶体表面逃逸,随着应变增加,该位错源循环往复地进行增殖与表面逃逸,不断地扫过晶体内部,产生塑性应变,最终形成单滑移变形。当加载应变率为5×10⁴ s^-1时,从图 10可以看出,晶体内3个滑移系内的多个位错源同时激活形成位错环。随后多个滑移系内的位错源不断进行增殖演化,产生了较高的位错密度,当位错滑移至自由表面后发生逃逸,造成位错密度下降。多个滑移系内的位错不断增殖与逃逸,最终位错密度达到动态平衡。同时,多个滑移系内位错的共同演化造成单晶微柱变形更接近块体多晶材料变形。

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图10 应变率为5×10⁴ s^-1下不同应变时的位错构形图

Fig.10 Dislocation snapshots corresponding to strains of 0.11% (a), 0.20% (b), 0.32% (c), 0.45% (d), 0.58% (e) and 0.78% (f) in the compression

4 结论

(1) 基于位错理论建立了Ni单晶微柱压缩变形的3D-DDD模型,该模型考虑了位错运动中受到的外载荷、位错间相互作用力、位错线张力及自由表面镜像力,能够从微观层面反映出应变率对小尺寸单晶体材料内各滑移系位错演化及变形机制的影响。

(2) 通过3D-DDD模拟并结合理论模型定量地分析了不同应变率下流动应力中各应力组成,当应变率较低时,流动应力主要由位错源激活应力主导,随着应变率增加,流动应力中位错源激活应力所占比例减小,与应变率相关的应力逐渐主导流动应力。当应变率较低时,不同初始位错源密度条件下的流动应力差很小。在高应变率下,加载过程中初始位错源密度越高位错密度也相对较高,但是对应的流动应力反而越小。

(3) 随着应变率增加,晶体材料变形过程中由单滑移逐渐转变为多滑移机制。当加载应变率较低时,晶体内开启的滑移系数量极少,晶体变形由单滑移机制主导。随着加载应变率增加,晶体内多个滑移系内位错同时开启来协调塑性变形,单晶体变形由多滑移机制主导,接近块体多晶变形。

The authors have declared that no competing interests exist.

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