Acta Metallurgica Sinica 2016 , 52 (10): 1311-1325 https://doi.org/10.11900/0412.1961.2016.00336

Orginal Article

三维Ising模型的数学结构与精确解探索^*

张志东

中国科学院金属研究所沈阳材料科学国家(联合)实验室, 沈阳 110016

MATHEMATICAL STRUCTURE AND THE CONJECTURED EXACT SOLUTION OF THREEDIMENSIONAL (3D) ISING MODEL

ZHANG Zhidong

Shenyang National Laboratory for Materials Science, Institute of Metal Research, Chinese Academy of Sciences, Shenyang 110016, China

通讯作者: Correspondent: ZHANG Zhidong, professor, Tel: (024)23971859, E-mail: zdzhang@imr.ac.cn

责任编辑: ZHANG Zhidong

收稿日期: 2016-07-27

网络出版日期: 2016-10-27

基金资助: * 国家自然科学基金项目51331006和51590883资助

作者简介:

作者简介: 张志东, 男, 1963年生, 研究员

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摘要

本文首先回顾Ising模型的研究历史, 包括Ising模型简介、二维和三维Ising模型的研究进展, 特别是二维Ising模型的精确解. 然后介绍作者提出的有关三维Ising模型的2个猜想以及推定的精确解. 从拓扑、代数和几何的角度对三维Ising模型的数学结构进行了评述. 分析三维Ising模型的转移矩阵、拓扑理论中的纽结变换、Yang-Baxter方程和四面体方程之间的关系, 还介绍了三维Ising模型中存在的非局域效应、与量子场论和规范理论的关系、权重因子的物理意义、无限大温度及附近的奇异性和拓扑相变. 指出一些近似计算方法(例如, 低温展开、高温展开、重整化群和Monte Carlo模拟等)在研究三维Ising模型时的局限性.

关键词： Ising模型 ; 数学结构 ; 精确解 ; 拓扑性质 ; 代数性质 ; 几何性质

Abstract

In this article, the history of study on Ising model was first reviewed briefly, including a brief introduction of Ising model, the advances in the study of two-dimensional (2D) and three-dimensional (3D) Ising models, with a special interest in the exact solution of the 2D Ising model. Then two conjectures and putative exact solution of the 3D Ising model were introduced, and the mathematical structure of the 3D Ising model was investigated from the aspects of topology, algebra and geometry. The transfer matrices of the 3D Ising model, the knot theory in the topology, the relations between the Yang-Baxter equations and the tetrahedron equations were analysized. The non-local effect in the 3D Ising model, the relation between quantum field theory and gauge theory, the physical significance of weight factors, the singularity and the topological phase transition at/near infinite temperature in the 3D Ising model were also discussed. Finally, it was pointed out that some approximation techniques (for examples, low-temperature expansions, high-temperature expansions, renormalization group and Monte Carlo simulations) have disadvantages for studying the 3D Ising model.

Keywords： Ising model ; mathematical structure ; exact solution ; topological property ; algebraic property ; geometric property

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张志东. 三维Ising模型的数学结构与精确解探索^*[J]. , 2016, 52(10): 1311-1325 https://doi.org/10.11900/0412.1961.2016.00336

ZHANG Zhidong. MATHEMATICAL STRUCTURE AND THE CONJECTURED EXACT SOLUTION OF THREEDIMENSIONAL (3D) ISING MODEL[J]. Acta Metallurgica Sinica, 2016, 52(10): 1311-1325 https://doi.org/10.11900/0412.1961.2016.00336

Ising (伊辛)模型是一个最简单的多体相互作用模型, 它可以提供非常丰富的物理内容^[1]. Ising模型可以用来描述非常广泛的现象, 如晶体的磁性、合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、森林火灾、城市交通、蛋白质分子的折叠等. 科学家对Ising模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子(或原子\自旋)最简单的模型. 它可以帮助人们发现物理世界的原则, 研究相互作用的粒子在多体系统在临界点及其附近的临界行为. 三维Ising模型可以研究从无限大温度到绝对零度相互作用的粒子系统的演变过程, 如果将热力学中的温度做为动力学中的时间来考量, 它不仅可以理解热力学平衡的无限系统(如一个磁铁), 还可以帮助理解宇宙. 另外, 可以推广平衡相变的理论, 研究连续的量子相变、基本粒子的超弦理论、在动力学系统到混沌的转变、系统偏离平衡的长时间行为和动力学临界行为等. 由于Ising模型中的粒子(或原子\自旋)具有2种可能的状态(自旋向上或向下), 它实际上可以对应黑白、上下、是非、满空、正负等. 原则上, Ising模型可以描述所有具有2种可能的状态的多体相互作用系统, 从而描述2种极端条件间的相互竞争.

Ising模型是一个非常简单的物理模型^[1], 在一维、二维或三维的每个格点上占据一个自旋. 每个Ising自旋在空间有2个量子化的方向, 即其指向可以向上或向下. 在一维Ising模型中, m个自旋排成一排, 每个自旋仅与其左右2个最近邻的自旋有相互作用. 在二维正方Ising模型中, 有n个相同的自旋排, 每个自旋与前后左右相邻的4个自旋有相互作用, 构成了一个二维的自旋阵列. 三维立方Ising模型就是有l个相同的二维自旋阵列, 每个自旋与其左右、前后、上下6个最近邻的自旋有相互作用. 可以看出, 随着维度的增加, 每个自旋的最近邻自旋数增加. 目前Ising模型仅有公认的一维和二维的精确解. 三维Ising模型精确求解的根本性困难是, 在三维Ising模型中存在自旋相互作用的非局域效应(详见本文后面的讨论), 尽管模型本身仅仅考虑最近邻相互作用, 实际上在三维Ising模型中存在类似于长程相互作用的效应.

为简单起见, 这里仅考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用. 所以在绝对零度时, 系统的基态是铁磁态, 所有自旋的取向完全一致. 如果温度T升高, 温度将要对这种有序的状态进行扰动. 在相变的临界温度下, 系统从有序态变成无序态. 在统计物理中有一套标准的程序^[2], 从系统的Hamiltonian出发, 写出其配分函数. 从配分函数得到系统的自由能, 对自由能进行微分得到磁化强度、比热、磁化率等物理性质. 所以, 问题的关键在于求出系统的配分函数. 而写出系统的所有可能不同状态又成为一个难点.

大家知道, 如果一个自旋的取向有2种可能, 那么m个自旋的取向有2^m种可能. 对于一维Ising模型(具有m个自旋格点), 根据系统的状态, 配分函数可写成矩阵形式, 每2个最近邻的自旋状态的组合构成2×2的矩阵, 配分函数是m个2×2矩阵相乘后对系统的所有可能不同状态的求和. 求解这个问题的关键是引入一个周期性边界条件, 这时系统的能量本征值就是2×2矩阵的能量本征值的m次方. 根据1925年Ising^[1]发表的结果, 在一维Ising模型中不存在有限温度的相变温度.

大家对Ising模型感兴趣的主要原因是, 它能很好地显示连续相变过程, 特别是在相变的临界温度附近的临界现象^[2-4]. Weiss提出了铁磁-顺磁相变的分子场理论, 也称为平均场理论^[2-4]. 而铁磁-顺磁相变的平均场理论与van der Waals的气-液相变理论又是相对应的. 平均场理论将一个自旋周围的所有自旋对它的作用平均成一个有效磁场, 实际上忽略了自旋的关联作用的细节. 可以证明平均场理论是四维及四维以上空间Ising模型的精确解. 这是由于四维及更高维空间的关联非常强, 可以用一个平均的有效磁场来描述关联效应. 但对于低维空间, 平均场理论仅能给出近似的定性结果(零级近似).

一些科学家试图对平均场理论进行改进. 在上世纪30年代, Bragg和Willams^[5]以及Shockley^[6]在研究合金中的有序-无序转变时, 进一步推进了Ising模型的研究. Bragg-Willams近似忽略了自旋间的短程关联; Bethe近似改进了Bragg-Williams近似, 考虑了短程序^[2-4]. 不过, 这些改进仍局限于平均场理论的框架. 实际上, 只有求出二维Ising模型的精确解, 才能获得正确的物理信息. 1941年, Kramers和Wannier^[7,8]以及Montroll^[9]分别利用二维Ising模型的对偶性精确地确定了正方Ising模型的Curie点为 $\begin{matrix} x_{c} = \exp (- 2 K_{c}) = \end{matrix} \begin{matrix} \sqrt{2} - 1 \end{matrix}$ (其中, K_c= $\begin{matrix} J / (k_{B}^{} T {}_{c}) \end{matrix}$ , $\begin{matrix} J \end{matrix}$ 为交换作用常数, $\begin{matrix} k_{B}^{} \end{matrix}$ 为Boltzmann常数, $\begin{matrix} T {}_{c} \end{matrix}$ 为Curie温度), 即白银解. 1944年, Onsager^[10]用代数法求出了二维长方Ising模型配分函数和比热的精确解. Onsager的工作首次清晰地证明从一个没有奇异性的Hamiltonian出发, 在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为: 在临界点, 比热不是不连续, 而是呈对数发散. Onsager的工作在量子统计物理领域具有重要的意义. 后来, Kaufman^[11]发展出一种更为简便优雅的方法. Onsager^[10]的文章仅给出二维Ising模型的本征值、配分函数、自由能、比热等的精确解. Yang^[12]于1952年用微扰法求出二维Ising模型的自发磁化强度. 二维Ising模型的临界指数为α=0, β=1/8, γ=7/4, δ=15, η=1/4和ν =1.

Ising模型描述的是许多自旋之间的相互作用问题, 属于多体问题, 所以, 求解二维Ising模型(m, n分别为沿着2个维度方向的自旋格点数)比求解一维Ising模型复杂得多. 求解一维Ising模型可以简化为对2×2矩阵求能量本征值的问题. 求解二维Ising模型就要处理2个2ⁿ×2ⁿ矩阵相乘后求能量本征值问题. 根据Kaufman^[11] 的方法, 首先将2个2ⁿ×2ⁿ矩阵用Pauli自旋矩阵表示, 写成Pauli自旋矩阵直乘及其乘积的线性组合, 以构成自旋表象下的2个矩阵; 然后, 通过证明自旋表象矩阵的本征值对应于相应的2n×2n转动矩阵的本征值; 从具有特殊形式的转动矩阵, 可以列出容易求解的本征值方程, 求出本征值; 返回去求出系统在自旋表象的能量本征值^[11]. 随后, 科学家也求解出三角、蜂窝、Kagomé等其它类型的二维Ising模型^[13-15]. 不过, 具有次近邻相互作用的二维Ising模型和磁场下的二维Ising模型至今没有精确解.

自从德国物理学家Lenz教授于1920年提出模型, 他的学生Ising于1925年求出一维模型的解以来^[1], 求解三维Ising模型的精确解一直是人类追求的梦想. 在Onsager^[10]求出二维长方Ising模型的精确解之时, 已意识到他的方法不能直接推广到三维Ising模型的求解. Kaufman^[11]的求解过程也不适用于直接求出三维Ising模型的精确解. 根本原因是三维与二维Ising模型有本质的不同. 二维与三维Ising模型几何空间形态的不同仅是表面现象, 其本质差别在于拓扑学上的差别^[13]. 这主要源于自旋本身具有2种指向的特性, 系统存在的相互作用, 数学处理时所用到矩阵的局限性(平面的形式)与三维空间维度的矛盾. 三维Ising模型(m, n, l分别为沿着3个维度方向的自旋格点数)要面对3个2^nl×2^nl矩阵相乘后求能量本征值问题. 困难还不在于多了一个矩阵, 矩阵阶数从2ⁿ变成2^nl, 困难在于自旋的排序以及矩阵元的排序相互交叉, 非常混乱地交织在一起. 这时, 人们遇到了一个新问题: 拓扑学的问题.

由于无法精确地求解三维Ising模型, 科学家们采取迂回的战略, 以获得一些有价值的信息. 主要的路径有以下几条: (1) Yang和Lee^[16,17]合作证明了相变存在的条件. 得出在零磁场条件下存在连续相变的结论, 并证明Ising模型与格气(lattice gas)问题相等价. (2) 以Domb等^[3,18]为代表的科学家集中精力进行级数展开, 包括低温展开、高温展开等. 从已知的2个状态出发, 一个是最低温(即绝对零度)的完全有序态, 另一个是最高温(即无限大温度)的完全无序态. 用函数级数展开形式给出体系的能量和其它物理量的表达式, 然后通过外推的方法估计临界点处的数值. (3) 以Fisher^[19], Rushbrooke^[20], Widom^[21]和Kadanoff等^[22]为代表的科学家研究了临界现象的规律性. 他们的思路是: 从临界点附近入手, 总结临界现象的规律性. 发展了标度理论, 发现了临界指数之间的标度关系. 并证明在6个临界指数α, β, γ, δ, η和ν中仅有2个独立的变量. (4) 1971年, Wilson^[23,24]在标度理论和普适性的基础上, 利用高能物理中的重正化的概念, 发展了重整化群理论. Wilson的思路是: 根据在临界点处关联长度趋于无限大, 体系应具有尺度变化下的不变性, 利用这种尺度变化下的不变性, 确定了临界点和临界指数. (5) 为了解决计算量庞大的问题, 一个思路是发展功能强大的计算机, 另一个就是发展简便的计算算法以节约计算时间, 为此, 发展了Monte Carlo模拟等计算机技术^[25]. (6) 实验测定不同物质的临界指数^[22]. 通过对不同物质的临界指数的测定, 分门别类地归纳总结, 并与不同理论模型(如Ising模型、XY模型、Heisenberg模型)的结果进行比较, 得出普适性的规律. 分出不同物质及模型的临界指数的普适类. 确认普适类仅与空间维数d和序参量的维数n有关, 与晶格常数和对称性、相互作用的性质、相互作用的力程大小等因素无关. (7) 尝试直接求解或推导一些可能的解析关系.

人们从分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、Monte Carlo模拟等出发, 近似计算三维Ising模型的Curie温度和临界指数, 从而加深了对其物理性质的理解. 其中Wilson^[23,24]于1971年发展的重整化群理论可以较高的精度计算三维Ising模型的近似结果, 是统计物理领域的一个重大进展. 根据三维ising模型的级数展开的近似结果^[3], 人们通常接受的临界指数为α=1/8, β=5/16, γ=5/4, δ=5, η=0和ν=5/8. 根据重整化群理论、Monte Carlo模拟等计算的三维Ising模型的临界指数为α=0.110, β=0.3265, γ=1.2372, δ=4.789, η=0.0364和ν=0.6301, Curie温度近似为1/K_c=4.511505^[25,26].

2007年, 作者报导了对三维简单正交晶格Ising模型的猜想, 以及在猜想基础上精确求解的详细计算过程^[27,28]. 通过引入四维空间解决三维空间的纽结和加权本征矢量这2个猜想, 解决了三维Ising模型的拓扑学问题. 2013年作者从拓扑、代数和几何的角度对三维Ising模型的数学结构进行了评述^[29]. 在本篇综述报告中, 作者将综述在文献[27]发表后的相关的研究进展. 在第1章, 介绍了Hamiltonian, 转移矩阵, 边界条件和2个猜想的细节(改正了文献[27]中方程 (15)和(16)的技术错误). 在第2章, 将拓扑、代数和几何关联起来, 以对三维Ising模型的数学结构进行综述^[29]. 第3章讨论了三维Ising模型的非局域效应, 与相对论量子统计力学以及其与量子场论和规范理论的联系, 权重因子的物理意义, 无限大温度以及附近的奇异性和拓扑相变. 第4章介绍研究三维Ising模型的一些近似方法(例如, 低温展开、高温展开、重整化群和Monte Carlo模拟等)的局限性. 第5章给出本文的结论, 简述最近的一些研究结果, 并指出目前该领域仍然存在的问题.

1 三维Ising模型的Hamiltonian, 转移矩阵和2个猜想的结论

在简单正交晶格上的三维Ising模型的Hamiltonian为^[27,29]:

$\begin{matrix} \overset{⌢}{H} = - J \overset{n}{\sum_{τ = 1}} \overset{m}{\sum_{ρ = 1}} \overset{l}{\sum_{δ = 1}} s_{ρ, δ}^{(τ)} s_{ρ, δ}^{(τ + 1)} - J' \overset{n}{\sum_{τ = 1}} \overset{m}{\sum_{ρ = 1}} \overset{l}{\sum_{δ = 1}} s_{ρ, δ}^{(τ)} s_{ρ + 1, δ}^{(τ)} - \\ J'' \overset{n}{\sum_{τ = 1}} \overset{m}{\sum_{ρ = 1}} \overset{l}{\sum_{δ = 1}} s_{ρ, δ}^{(τ)} s_{ρ, δ + 1}^{(τ)} \end{matrix}$ (1)

其中, s为处于格点上的自旋算符, 对于Ising模型取值为+1和-1, 分别代表自旋向上和自旋向下; 自旋算符s的角标τ, ρ和δ分别标记沿着3个维度方向的自旋, 其自旋(格点)数分别为n, m和l; J, J′和J′′分别为格点上自旋沿着3个坐标轴方向的最近邻交换作用常数. 配分函数Z为^[27,29]:

$\begin{matrix} Z = trace (T {(V))}^{m} = trace (V_{3} V_{2} V_{1})^{m} \end{matrix}$ (2)

其中, 转移矩阵V₁, V₂和V₃分别为:

$\begin{matrix} V_{3} = \exp {\overset{″}{K} ∙ \overset{n}{\sum_{r = 1}} \overset{l}{\sum_{s = 1}} s'_{r, s}^{} s'_{r, s + 1}^{}} \end{matrix}$ (3)

$\begin{matrix} V_{2} = \exp {K' ∙ \overset{l}{\sum_{s = 1}} \overset{n}{\sum_{r = 1}} s'_{r, s} s'_{r + 1, s}} \end{matrix}$ (4)

$\begin{matrix} V_{1} = {(2 \sinh 2 K)}^{\frac{n ∙ l}{2}} ∙ \exp {K^{*} ∙ \overset{l}{\sum_{s = 1}} \overset{n}{\sum_{r = 1}} C_{r, s}} \end{matrix}$ (5)

这里, 引入变量 $\begin{matrix} K = J / (k_{B}^{} T) \end{matrix}$ , $\begin{matrix} K' = J' / (k_{B}^{} T) \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} \overset{″}{K} = \overset{″}{J} / \end{matrix} \begin{matrix} (k_{B}^{} T) \end{matrix}$ 代替J, J′和J′′. K^*定义为 $\begin{matrix} \exp (- 2 K) \equiv \tanh K^{*} \end{matrix}$ ^{[10,11,27,29]}. 引入2ⁿ^×^l维四元数矩阵 $\begin{matrix} {\overset{″}{s}}_{r, s} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} s'_{r, s} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} C_{r, s} \end{matrix}$ :

$\begin{matrix} {\overset{″}{s}}_{r, s} = I \otimes I \otimes \dots \otimes I \otimes \overset{″}{s} \otimes I \otimes \dots \otimes I \end{matrix}$ (6a)

$\begin{matrix} s'_{r, s} = I \otimes I \otimes \dots \otimes I \otimes s' \otimes I \otimes \dots \otimes I \end{matrix}$ (6b)

$\begin{matrix} C_{r, s} = I \otimes I \otimes \dots \otimes I \otimes C \otimes I \otimes \dots \otimes I \end{matrix}$ (6c)

这里在每个直积有n×l个因子, 且 $\begin{matrix} \overset{″}{s} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} s' \end{matrix}$ 和C出现在第(r, s)位置. $\begin{matrix} \overset{″}{s} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} s' \end{matrix}$ 和C为Pauli自旋矩阵. 使用Onsager-Kaufman-Zhang标记^{[10,11,27,29]}: $\begin{matrix} \overset{″}{s} = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{matrix}$ (=iσ₂), $\begin{matrix} s' = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] \end{matrix}$ (=σ₃), $\begin{matrix} C = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{matrix}$ (=σ₁), $\begin{matrix} I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}$ . $\begin{matrix} σ_{1}, σ_{2} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} σ_{3} \end{matrix}$ 为Pauli 矩阵常规标记形式. $\begin{matrix} P_{r, s} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} Q_{r, s} \end{matrix}$ 与矩阵 $\begin{matrix} Γ_{k} \end{matrix}$ 相关:

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} Γ_{2 r - 1} \equiv C \otimes C \otimes \dots \otimes s' \otimes I \otimes I \otimes \dots \equiv P_{r} \\ Γ_{2 r} \equiv C \otimes C \otimes \dots \otimes (- i \overset{″}{s}) \otimes I \otimes I \otimes \dots \equiv Q_{r} \\ (1 \leq r \leq nl) \end{matrix} \end{matrix}$ (7)

其中, 在每个乘积出现n×l个因子; $\begin{matrix} s' \end{matrix}$ 或者(- $\begin{matrix} i \overset{″}{s} \end{matrix}$ )出现在第r的地方. $\begin{matrix} Γ_{k} \end{matrix}$ 是2ⁿ^×^l维矩阵, 遵从对易关系: $\begin{matrix} Γ_{k}^{2} = 1 \end{matrix}$ , $\begin{matrix} Γ_{k} Γ_{l} = - Γ_{l} Γ_{k} \end{matrix}$ , (1≤k, l≤2n×l).

根据Kaufman^[11], Lou和Wu^[30]的工作以及在文献[31, 32]中的讨论, 配分函数变为:

$\begin{matrix} Z = {(2 \sinh 2 K)}^{\frac{m ∙ n ∙ l}{2}} ∙ trace (V_{3} V_{2} V_{1})^{m} \equiv \\ {(2 \sinh 2 K)}^{\frac{m ∙ n ∙ l}{2}} ∙ \overset{2^{n ∙ l}}{\sum_{i = 1}} λ_{i}^{m} \end{matrix}$ (8)

其中, $\begin{matrix} λ_{i} \end{matrix}$ 为转移矩阵的本征值, 转移矩阵V₁, V₂和V₃ 可以通过执行Jordan-Wigner变换表示成基矩阵的形式. 转移矩阵V₁, V₂和V₃ 可以化简为^[29,31]:

$\begin{matrix} V_{3} = \overset{nl}{\prod_{j = 1}} \exp {- i \overset{″}{K} Γ_{2 j} [\overset{j + n - 1}{\prod_{k = j + 1}} i Γ_{2 k - 1} Γ_{2 k}] Γ_{2 j + 2 n - 1}} = \\ \overset{nl}{\prod_{j = 1}} \exp {- i \overset{″}{K} s'_{j} s'_{j + n}} \end{matrix}$ (9)

$\begin{matrix} V_{2} = \overset{nl}{\prod_{j = 1}} \exp {- iK' Γ_{2 j} Γ_{2 j + 1}} = \overset{nl}{\prod_{j = 1}} \exp {- iK's'_{j} s'_{j + 1}} \end{matrix}$ (10)

$\begin{matrix} V_{1} = \overset{n l}{\prod_{j = 1}} \exp {i K^{*} ∙ Γ_{2 j - 1} Γ_{2 j}} \end{matrix}$ (11)

这里, j从1到nl, 对应(r, s)从(1, 1)到(n, l); 或者有j=(n-1)r+s. 在上面的推导中, 转移矩阵中保留了拓扑内因子项(即, 在转移矩阵中的高次项^[29-31]), 表征非平面的贡献, 体现非局域的效应. 另一方面, 在热力学极限下, 最大的本征值以及配分函数和它的热力学结论均不受任何边界条件的影响. 根据Bogoliubov不等式, 无限大系统的表面与体积比为零^[31], 所以, 作者已经删去边界因子, 使用开放的边界条件^[29-32].

为了精确求解三维Ising模型, 作者提出以下2个猜想^[27].

猜想一: 三维Ising模型的拓扑学问题可以通过在四维空间引入的一个附加的旋转来解决, 其原因是在三维空间的纽结可以用四维空间的旋转打开. 针对三维Ising模型, 可以在2nlo空间(其中o=(nl)^1/2)进行这种旋转, 它对应于在2^nlo空间的自旋表象. 同时, 自旋表象矩阵及其对应的旋转矩阵将在这种高维的空间重新排列和表示.

猜想二: 用权重因子w_x, w_y和w_z作用在本征矢量, 以表达在四维空间exp(i2t_xπ/n), exp(i2t_yπ/l)和exp(i2t_zπ/o)对系统的能谱的贡献.

根据猜想一, 在2nlo空间对转移矩阵V的一个附加旋转可以表示成一个附加的矩阵 $\begin{matrix} V'_{4} \end{matrix}$ ^[27,29]:

$\begin{matrix} V'_{4} = \overset{nlo - 1}{\prod_{t = 1}} \exp {- i \overset{‴}{K} Γ_{2 t} Γ_{2 t + 1}} \end{matrix}$ (12)

且:

$\begin{matrix} \overset{‴}{K} = \frac{K' \overset{″}{K}}{K} (K \neq 0) \end{matrix}$ (13)

然后矩阵V₁, V₂ 和V₃ 变成^[27,29]:

$\begin{matrix} V'_{3} = \overset{nlo - 1}{\prod_{t = 1}} \exp {- i \overset{″}{K} Γ_{2 t} Γ_{2 t + 1}} \end{matrix}$ (14)

$\begin{matrix} V'_{2} = \overset{nlo - 1}{\prod_{t = 1}} \exp {- iK' Γ_{2 t} Γ_{2 t + 1}} \end{matrix}$ (15)

$\begin{matrix} V'_{1} = \overset{nlo}{\prod_{t = 1}} \exp {i K^{*} ∙ Γ_{2 t - 1} Γ_{2 t}} \end{matrix}$ (16)

引入新转移矩阵 $\begin{matrix} V'_{4} \end{matrix}$ 以及从1到nlo变化的新指标t, 对应一个附加的维度, 可以通过时间平均而实现. 同时, 其它3个矩阵 $\begin{matrix} V'_{1} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} V'_{2} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} V'_{3} \end{matrix}$ 也自然地采取加一维的形式. 在引入附加维度后, 重新构建2^nlo维度的四元数矩阵. 这时, 三维Ising模型的2nlo归一化本征函数具有权重因子w_x, w_y和w_z的复数四元数本征矢量的性质(见文献[27]中方程(33a)和(33b)) . 然后, 包含4个矩阵 $\begin{matrix} V'_{1} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} V'_{2} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} V'_{3} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} V'_{4} \end{matrix}$ 的转移矩阵 $\begin{matrix} V' \end{matrix}$ 可以遵循Onsager^[10]和Kaufman^[11]的技术, 进行四元数框架中对角化(见文献[27]中方程(21)~(32)和方程(34)~(48)).

在2个猜想的基础上, 获得了三维Ising模型的配分函数、热力学参数(如比热、自发磁化强度、关联长度和关联函数等). 在本征函数上带有权重因子的(3+1)维框架中处理的三维简单正交Ising模型的配分函数为^[27,29]:

$\begin{matrix} N^{- 1} lnZ = \ln 2 + \frac{1}{2 {(2 π)}^{4}} \cdot \end{matrix}$

$\begin{matrix} \overset{π}{\int_{- π}} \overset{π}{\int_{- π}} \overset{π}{\int_{- π}} \overset{π}{\int_{- π}} \ln [\cosh 2 K \cosh 2 (\overset{′}{K} + \overset{″}{K} + \overset{‴}{K}) - \end{matrix}$

$\begin{matrix} \sinh 2 Kcos \overset{′}{ω} - \sinh 2 (\overset{′}{K} + \overset{″}{K} + \overset{‴}{K}) (|w_{x}| \cos ϕ_{x} \cos ω_{x} + \end{matrix}$

$\begin{matrix} |w_{y}| \cos ϕ_{y} \cos ω_{y} + \end{matrix} \begin{matrix} |w_{z}| \cos ϕ_{z} \cos ω_{z})] d \overset{′}{ω} d ω_{x} d ω_{y} d ω_{z} \end{matrix}$ (17)

这里, $\begin{matrix} ω' \end{matrix}$ , $\begin{matrix} ω_{x} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} ω_{y} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} ω_{z} \end{matrix}$ 为角度, 数值在-π和π之间变化. 在文献[27]中方程(33)本征矢量上的权重因子w_x, w_y和w_z已经被扩展为具有位相ϕ_x, ϕ_y和ϕ_z的复数|w_x| $\begin{matrix} \exp (i ϕ_{x}) \end{matrix}$ , |w_y| $\begin{matrix} \exp (i ϕ_{y}) \end{matrix}$ 和|w_z| $\begin{matrix} \exp (i ϕ_{z}) \end{matrix}$ ^[29,33]. 所以, 在文献[27]中方程(49)的权重因子w_x, w_y和w_z分别用|w_x|cosϕ_x, |w_y|cosϕ_y和|w_z|cosϕ_z替代^[29,33], 因为在本征值中仅仅出现相因子的实部.

三维简单正交Ising晶格的自发磁化强度为^[27]:

$\begin{matrix} I = {[1 - \frac{16 x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2} x_{4}^{2}}{(1 - x_{1}^{2})^{2} (1 - x_{2}^{2} x_{3}^{2} x_{4}^{2})^{2}}]}^{\frac{3}{8}} \end{matrix}$ (18)

这里, $\begin{matrix} x_{i} = \exp (- 2 K_{i}) \end{matrix}$ (i=1, 2, 3, 4), 其中K_i=βJ_i (i=1, 2, 3), $\begin{matrix} β = 1 / (k_{B}^{} T) \end{matrix}$ . 由 $\begin{matrix} K K^{*} = K \overset{′}{K} + K \overset{″}{K} + K' \overset{″}{K} \end{matrix}$ 决定简单正交Ising晶格的Curie温度^[27]. 对于一个简单立方Ising模型 $\begin{matrix} (K = K' = \overset{″}{K}) \end{matrix}$ , 从条件 $\begin{matrix} K^{*} = 3 K \end{matrix}$ 或 $\begin{matrix} \sinh 2 K ∙ \end{matrix} \begin{matrix} \sinh 6 K \end{matrix} \begin{matrix} = 1 \end{matrix}$ 推定其Curie温度精确地存在于黄金点 $\begin{matrix} x_{c} = \exp (- 2 K_{c}) = \end{matrix} \begin{matrix} \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 0.6180339887 \dots \end{matrix}$ . 即1/K_c=4.15617384 $\begin{matrix} \dots \end{matrix}$ , 如果猜想是正确的, 三维简单正交晶格Ising模型的比热在相变的临界点具有对数发散的奇异性, 这与二维Ising模型的比热的奇异性一致. 三维Ising模型的临界指数确定为α=0, β=3/8, γ=5/4, δ=13/3, η=1/8和ν=2/3, 满足标度律.

2 三维Ising模型的数学结构

在这一章, 综述三维Ising模型的数学结构^[29], 例如, 代数性质(如Lie代数、 Clifford代数或者几何代数、 Jordan代数、共形代数等)、拓扑性质、几何性质. 主要阐述超复数和Jordan-von Neumann-Wigner过程、Yang-Baxter方程和四面体方程等.

2.1 代数性质和Jordan-von Neumann-Wigner过程

求解三维Ising模型的过程通过四元数、Pauli矩阵、特殊幺正群SU(2)、旋转矩阵SO₂(R)和特殊正交群SO(3)等与Lie代数/李群相关联^[29]. 可以通过引入一个附加的维度在一个更大的Hilbert空间处理三维Ising模型, 因为非局域性质(纽结)的出现导致算符产生一个很大的Lie代数^[27]. 在三维Ising模型, 通过附加第四维度形成四元数本征矢量, 对应于Clifford代数或者几何代数Cℓ₃.

量子力学的代数求解过程可以基于Jordan代数. 很清楚, 可以用Clifford代数结构和Jordan代数结构简化在文献[27]中发展的四元数技术^[34-38]. 在Jordan代数中自然出现的乘法 $\begin{matrix} A \circ B = \frac{1}{2} (AB + BA) \end{matrix}$ 可以满足文献[27]中构建的代数的对易子代数的要求. 正如文献[34]中的图2所示, 由Jordan-von Neumann-Wigner定理^[39]可以产生6个Jordan代数的序列. 众所周知, 单位四元数可以被认为是给定Spin(3)群的三球面S³的群结构的一个选择, 它与SU(2)同构, 也是SO(3)的泛覆盖. 所以, 在文献[27]中为三维Ising模型建立的四元数基自然地表示在一个四维空间(或者说, (3+1)维时空)的旋转. 在文献[27]中发现的三维Ising模型四元数基是三球面S³上的复数元数基. 对三维Ising模型的配分函数的四重积分满足求时间平均的要求. 这个过程也出现在其它理论中, 如复数四元数^[40]、四元数量子力学^[41]、四元数与狭义相对论^[42].

Zhang和March^[43]建议, 在文献[27]中为三维Ising模型发展的四元数基函数可以用来研究在维度高于二的体系的共形不变性. 可以在带有复数权重的四元数坐标框架下拓展二维共形场理论来研究三维. 三维共形变换可以分解为3个二维的共形变换, 其中Virasoro代数仍然成立, 但是仅仅对复数四元数Hilbert空间的四元数坐标的每个复平面成立. 在三维的局域的共形不变性仅仅限制于四元数坐标的每个复平面, 需要在考虑相因子w_i贡献的条件下对3个复平面的二维共形块求和. 需要注意的是, 在这个过程中, 3个带有权重因子 $\begin{matrix} Re |\exp (i ϕ_{i})| \end{matrix}$ 可以为零或者非零值, 独立的Virasoro代数保证可以在(3+1)维空间描述3个独立的 Virasoro代数, 不需要引入六维的(2+2+2)空间. 尽管对复权重的起源(以及如何定量地推导它们)尚未完全理解清楚^[43], 带有复数权重的四元数坐标的确为解决三维共形场论提供了一个可行的方案.

2.2 拓扑基的变换

在三维Ising模型求解过程中存在的主要困难是拓扑学的困难, 源于转移矩阵中的内因子^[29,31,32]. 下面, 将简要介绍纽结以及其与统计物理的关系, 以表明引入第四维度处理三维Ising模型的拓扑学问题是有意义的^[29].

众所周知, 在统计物理和Jones 多项式及其它多项式之间存在紧密的联系^[44,45]. 一个封闭的辫子Jones 多项式是在辫子上的统计模型的配分函数. 对纽结和环图, 一个平面曲线的基本拓扑变形是零移动和Reidemeister移动I, II, III^[44,45]. Reidemeister移动改变一个图的图形结构, 但保持相应的结和环的镶嵌的拓扑类型不变, 即所谓的环境痕(ambient isotopy). 纽结图的一个态与一个物理系统的能量态类似. 可以找到一种方法对系统拓扑变形时保持态结构不变, 且将态的不变性质变成纽结和环的拓扑不变量. 态的拓扑演化和对态空间的积分对研究纽结和环的拓扑来讲是互补的. 拓扑学上, 消除一个交叉(×)有2种可能性, 所以一个具有N个交叉的图有2^N个态^[33]. 括号多项式, 即态求和, 由下式定义^{[29,33,44,45]}:

$\begin{matrix} 〈K〉 = \sum^{} 〈K |σ〉 d^{‖σ‖} \end{matrix}$ (19)

这里, σ对K的所有状态求和. 括号态求和与离散统计力学中的配分函数类似.

根据拓扑学理论, 有^[44,45]:

$\begin{matrix} 〈χ〉 = A 〈\begin{matrix} ⋃ \\ ⋂ \end{matrix}〉 + B 〈) (〉 \end{matrix}$ (20a)

$\begin{matrix} 〈χ^{- 1}〉 = B 〈\begin{matrix} ⋃ \\ ⋂ \end{matrix}〉 + A 〈) (〉 \end{matrix}$ (20b)

公式(20)可以改写成矩阵形式^[29]:

$\begin{matrix} [\begin{matrix} 〈χ〉 \\ 〈χ^{- 1}〉 \end{matrix}] = [\begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix}] [\begin{matrix} 〈\begin{matrix} ⋃ \\ ⋂ \end{matrix}〉 \\ 〈) (〉 \end{matrix}] \end{matrix}$ (21a)

逆矩阵为:

$\begin{matrix} [\begin{matrix} 〈\begin{matrix} ⋃ \\ ⋂ \end{matrix}〉 \\ 〈) (〉 \end{matrix}] = \frac{1}{A^{2} - B^{2}} [\begin{matrix} A & - B \\ - B & A \end{matrix}] [\begin{matrix} 〈χ〉 \\ 〈χ^{- 1}〉 \end{matrix}] \end{matrix}$ (21b)

可以通过一个变换将系统从<χ>和<χ^-1>的基变换到< $\begin{matrix} \begin{matrix} ⋃ \\ ⋂ \end{matrix} \end{matrix}$ >和<)(>的基, 反之亦然. 只要在系统中存在纽结或者环, 无论它们是多么的复杂, 总是存在一个变换矩阵的. 实际上, 这表明不需要如猜想一建议的那样引入附加的旋转, 因为代表这种旋转的矩阵内禀地自发地存在于系统中. 带有非平庸的结或者环的三维相互作用系统自然地存在一个附加的维度(即, 时间).

一个纽结或环图通常可以通过一个方向性图以及与2种交叉相联系的2个矩阵 $\begin{matrix} R_{cd}^{ab} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} {\overset{̅}{R}}_{cd}^{ab} \end{matrix}$ 解释为一个抽象张量图. 任意有方向性的环图可以映射成一个特殊的收缩抽象(contracted abstract)张量T(K). 如果矩阵 $\begin{matrix} R \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} \overset{̅}{R} \end{matrix}$ 满足渠道单一, 跨渠道单一和Yang-Baxter方程, 那么T(K)即是有方向图K的一个定期同痕不变量. 值得指出的是, Yang-Baxter方程对应于一个III型Reidemeister移动. $\begin{matrix} R_{cd}^{ab} \end{matrix}$ 可以用来表示入自旋(或电荷) a和b与出自旋(或电荷) c和d间一个粒子相互作用散射振幅. 有^[44]:

$\begin{matrix} R_{cd}^{ab} = A δ_{c}^{a} δ_{d}^{b} + A^{- 1} δ^{ab} δ_{cd} \end{matrix}$ (22a)

$\begin{matrix} {\overset{̅}{R}}_{cd}^{ab} = A^{- 1} δ_{c}^{a} δ_{d}^{b} + A δ^{ab} δ_{cd} \end{matrix}$ (22b)

这里, n=-A²-A^-2, 为Yang-Baxter方程的一个解^[44]. $\begin{matrix} δ_{b}^{a} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} δ^{ab} \end{matrix}$ 为Kronecker δ函数. T(OK)=nT(K)和T(O)=n. 可以研究量子群SL(2)_q 的表示理论, 作为SL(2)的表示理论. 作为Yang-Baxter方程的一个解的普适R矩阵的结构来源于Lie代数公式. 普适R矩阵的Yang-Baxter方程表示为^[44]:

$\begin{matrix} R_{12} R_{13} R_{23} = R_{23} R_{13} R_{12} \end{matrix}$ (23)

这里, $\begin{matrix} R_{12} = \sum^{} e_{s} \otimes e^{s} \otimes I \end{matrix}$ , $\begin{matrix} R_{13} = \sum^{} e_{s} \otimes I \otimes e^{s} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} R_{23} = \end{matrix} \begin{matrix} \sum^{} I \otimes e_{s} \otimes e^{s} \end{matrix}$ . 一个给定的线性变换的特征多项式可以表示为A的矢量空间的外代数的一个关联变换的迹. 这个迹可与Alexander多项式的统计力学相联系. 所以, 可以理解三维Ising模型的转移矩阵V包含2种贡献^[29,33]: 自旋的局域贡献和纽结的非局域效应的贡献. 在平滑之后, 在新的矩阵 $\begin{matrix} V' \equiv V'_{4} ∙ V'_{3} ∙ V'_{2} ∙ V'_{1} \end{matrix}$ 中不存在交叉^[33], 它不仅包含了非平庸拓扑结构对配分函数的贡献, 而且可对角化. 由纽结导致的非局域特性意味着需要附加旋转矩阵和附加维度, 所以, 为了处理在更大的Hilbert空间中的过程, 三维Ising模型相关的算符产生一个非常大的Lie代数^[12,27]. 很明显, 任何方法(如, 低温展开、高温展开、Monte Carlo方法、重整化群等)仅考虑了局域自旋组态, 这对三维Ising模型不可能是精确的^{[27,29,32,33]}, 其原因是在三维Ising模型中存在全局(拓扑)效应, 以至一个自旋的翻转也会敏感地影响很远(甚至无限远)处自旋的排列状态.

2.3 Yang-Baxter方程和四面体方程

Yang-Baxter方程起源于一个统计力学问题, 它要求与四价顶角相联系的一个R矩阵与晶格的行与行转移矩阵对易. 因为确保了转移矩阵的对易性和模型的可积性, Yang-Baxter方程和其变种对精确求解统计力学中的模型方程很重要^[13,46]. 其原因是一个配分函数中的局域权重通常可以表示成一个Yang-Baxter矩阵方程的解, 且与第三种Reidemeister移动下的不变性完全吻合. 本征值是由满足一个函数矩阵关系的转移矩阵和对易性质一起决定的.

对应格点上的自旋模型, 特别是, Ising模型, Yang-Baxter关系变成星-三角关系^[13,46]. 星-三角关系最初是在电线网络发展而来的^[47], 它表示在一个网络中一个星或一个三角形上排列的三个电阻之间的等价性, 也就是著名的U-Δ变换:

$\begin{matrix} R_{1} \bar{R_{1}} = R_{2} \bar{R_{2}} = R_{3} \bar{R_{3}} = R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1} = \\ \bar{R_{1}} \bar{R_{2}} \bar{R_{3}} / (\bar{R_{1}} + \bar{R_{2}} + \bar{R_{3}}) \end{matrix}$ (24)

Onsager注意到星-三角关系以及导致的转移矩阵的对易性, 并通过它求解出二维Ising模型的本征值^[10]. Wannier^[48] 和Houtappel^[49] 应用星-三角关系确定了三角和蜂窝晶格的Curie点.

在上世纪60年代, Yang用Bethe Ansatz方法求解带有δ函数相互作用的一维量子N体问题^[50]和各向异性Heisenberg自旋链^[51], 提出了所谓的Yang-Baxter关系. Yang-Baxter关系对应于纽结理论中的第三类Reidemeister移动, 可以用Artin辫子群的关系描述^[47]. 一个辫子可以用算符R_i_,_i₊₁和它们的逆的乘积表示^[47]:

$\begin{matrix} R_{i, i + 1} R_{i + 1, i + 2} R_{i, i + 1} = R_{i + 1, i + 2} R_{i, i + 1} R_{i + 1, i + 2} \end{matrix}$ (25a)

和

$\begin{matrix} [R_{i, i + 1}, R_{j, j + 1}] = 0 (| i - j | \geq 2) \end{matrix}$ (25b)

注意到, Yang-Baxter关系也反映了一个事实, 三体S矩阵可以用两体的贡献描述, 因为任何三体的碰撞均可以被视为两体碰撞的连续进行, 且碰撞的次序不影响最后的结果^[52]. Yang-Baxter关系对不同的模型有不同的形式^[13,46,47]. 星-三角关系保证了模型的可积性, 以及对易的转移矩阵可写成T(u)T(v)-T(v)T(u)=0.

Yang-Baxter方程仅仅可以用来求解二维模型, 人们需要用所谓的四面体方程, 或者复合Yang-Baxter方程来处理三维模型. Zamolodchikov引入四面体方程作为Yang-Baxter方程的三维推广, 找到一个特解^[53,54]. 被权重函数满足的四面体方程扮演一个非常重要的角色, 它类似于Yang-Baxter方程, 具有由权重函数构成的层与层转移矩阵的对易性. 可以从作用在模型的局域统计权重上的四面体方程导出如转移矩阵的对易性那样的全局性质. 这些局域的对称关系可以用来推导模型的全局性质, 其原因是它可以关联晶格所有交叉点的局域统计权重, 从而使四面体关系以及它的倒关系在晶格的所有地方均成立, 且保持配分函数不变^[55].

Stroganov^[56]总结了Yang-Baxter方程的三维推广的结果, 并讨论了简单立方晶格统计自旋模型的可积性条件(即四面体方程). 三维统计系统可以处理成一个具有复合权重的二维系统. 其技巧是, 沿第三个方向投影立方晶格导致一个带有有效Boltzmann权重的二次(平面)晶格. 2个转移矩阵V和V′对易的充分条件是复合权重R₁₂和R′₁₄满足Yang-Baxter方程: $\begin{matrix} R_{12} R'_{14} {\overset{″}{R}}_{24} = {\overset{″}{R}}_{24} R'_{14} R_{12} \end{matrix}$ . 然后, 如果存在一个辅助的非简并矩阵 $\begin{matrix} \overset{‴}{R} \end{matrix}$ 以至 $\begin{matrix} l_{α} \overset{‴}{R} = \overset{‴}{R} r_{α} \end{matrix}$ , 且M个辅助矩阵 $\begin{matrix} l_{α} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} r_{α} \end{matrix}$ 的乘积的迹相等, 系统将满足复合Yang-Baxter方程^[54]. 复合Yang-Baxter方程, 也就是所谓的四面体方程, 可以写成^[56]:

$\begin{matrix} R_{123} R_{145} R_{246} R_{356} = R_{356} R_{246} R_{145} R_{123} \end{matrix}$ (26)

根据系统的对称性质可以有不同形式的四面体方程.

一个(菱形十二面体的)四面体的分解和重新排列可用来表明如何通过切断和熔合交叉来处理拓扑问题^[55]. 满足四面体关系保证了三维Ising模型转移矩阵的对易性和可积性. 如方程(2)或(8)所示, 三维Ising模型的配分函数可写成2个相邻层的立方体所有V函数的乘积为矩阵元素的层与层转移矩阵T的形式. 与以前的结果类似^[55,56], 如果找出三维Ising模型的四面体方程(或者复合Yang-Baxter方程)的解, 2个转移矩阵T(V)和T(V′)将对易, 即 $\begin{matrix} [T (V), T (V')] = 0 \end{matrix}$ . 当然, 尚面临一个困难, 这种系统是过确定性的, 在每个局域权重的变量上需要加上约束才能获得一个解^[55]. 无论如何, 这种四面体方程应该存在, 因为Jordan代数和Jordan-von Neumann-Wigner过程已经确保了对易关系的存在^[34-38]. 由于Yang-Baxter方程不涉及交叉的切断和熔合, 在不具有交叉的二维Ising模型的求解过程中不产生几何相因子. 然而, 一个四面体关系却涉及交叉的切断和熔合, 所以导致三维Ising模型中拓扑相因子的出现.

2.4 几何性质

对二维Ising模型, 在文献[10, 11]中获得的几何关系式是双曲三角函数关系, 可以在一个二维Poincaré盘上表示. 对三维Ising模型, 在文献[27]中获得的几何关系是双曲三球面(或四球)的关系, 可以在四维Poincaré盘(球)上表示. 注意, 三球面具有由四元数乘法给定的Lie群结构. 这个三球面的几何与在文献[27]中构建的四元数本征矢量的想法一致. 由于文献[27]中的发现, 简单正交Ising模型的对偶变换是2个对偶正交晶格的边和它们对应面之间进行的. 所以, 在其它三维晶格之间的对偶也同样应该是对偶晶格的边和它们对应面之间的对偶. 已知一个具有单位边长的四面体的对偶多面形体是另外一个相反取向具有单位边长的四面体. 可以发现在2个对偶四面体晶格(或者一个四面体晶格和一个三维蜂窝晶格)之间的对偶关系. 这种对偶关系可以将四面体晶格上的一个低温(高温)模型映射到三维蜂窝晶格上的一个高温(低温)模型.

在文献[27]中获得的Curie温度的条件, KK^*=KK′+KK′′+K′K′′, 实际上是一个星-三角关系, 即在连续极限下的(复合)Yang-Baxter方程. 三维Ising模型的权重因子是几何位相, 类似于Berry效应、Aharonov-Bohm效应、Josephson效应和量子Hall效应等^[29,33]. 而且, 在Ising模型的交换能与热激发能之间的平衡与几何对偶、分形和准晶相关. 在一个立方体和它的内切二十面体之间通过黄金率存在对偶. 立方体Ising模型的Curie温度在黄金点^[27]表明, 最对称的三维晶格中交换能与热激发能在这一点达到平衡. 同时, 正方Ising模型的Curie温度为白银点. 黄金点和白银点也分别与Fibonacci数和Octonacci数联系, 它们是三维十重和二维八重对称准晶的投影角. 所以, 在它们之间一定存在几何的联络. 另外一方面, 黄金点和白银点可以写成连分数和连根号的形式, 分别代表2种分形: 花状和枝状, 也指出在这2种分形之间存在对偶关系^[27,34-38].

3 三维Ising模型的物理内涵

在本章节, 将简要地讨论三维Ising模型中的一些物理内涵, 主要包括在三维Ising模型中存在的非局域效应, 相对论粒子统计力学以及与量子场论和规范理论的关系, 权重因子的物理意义, 无限大温度及附近的奇异性以及拓扑相变等.

3.1 非局域效应

由公式(9)~(11)可知, 由Pauli矩阵可构建Clifford代数, 并得到下列公式:

$\begin{matrix} i Γ_{2 j - 1} Γ_{2 j} = I \otimes I \otimes \dots \otimes I \otimes C \otimes I \otimes \dots \otimes I \end{matrix}$ (27)

$\begin{matrix} s'_{j} s'_{j + 1} = I \otimes I \otimes \dots \otimes I \otimes s' \otimes s' \otimes I \otimes \dots \otimes I \end{matrix}$ (28)

$\begin{matrix} s'_{j} s'_{j + n} = I \otimes I \otimes \dots \otimes I \otimes s' \otimes I \otimes \dots \otimes \\ I \otimes s' \otimes I \otimes \dots \otimes I \end{matrix}$ (29)

分别对应转移矩阵V₁, V₂和V₃中指数上的因子, 求解三维Ising模型的问题归结求解转移矩阵V=V₃V₂V₁的迹^[27,29]. 其中, 转移矩阵V₁和V₂的指数因子上分别为2个 $\begin{matrix} Γ \end{matrix}$ 矩阵的乘积, 代表平庸的拓扑结构, 可以视为代表一个旋转的Lie代数. 转移矩阵V₃的指数因子中带有许多 $\begin{matrix} Γ \end{matrix}$ 矩阵相乘的非线性项, 这是求解三维Ising模型的困难. 在上面的方程(29)中, 在2个 $\begin{matrix} s' \end{matrix}$ 矩阵之间间隔了(n-1)项单位矩阵的直乘, 表明非局域效应以及非平庸的拓扑结构的存在. 尽管转移矩阵V₂和V₃的公式形式上比较类似, 但是它们的内涵很不一样. 在公式(28)和(29)中 $\begin{matrix} s' \end{matrix}$ 的下角标代表不同的含义. $\begin{matrix} s'_{j} s'_{j + 1} \end{matrix}$ 代表在一个平面内沿着第二个维度方向上的2个最近邻自旋之间的相互作用, 而 $\begin{matrix} s'_{j} s'_{j + n} \end{matrix}$ 表示沿着第三个空间维度的2个最近邻自旋间的相互作用. 后者看上去好像是相距非常远的2个自旋之间的相互作用, 并以平面内沿着第二维度方向的n个自旋为媒介. 其原因是, 第三个转移矩阵V₃ 必须满足在转移矩阵V₁和V₂中已经固定了的自旋变量的次序. 由于在计算一个平面内自旋相互作用时固定了自旋的序号, 尽管一个自旋与其沿着第三个维度方向的自旋的相互作用是最近邻的, 但效果是与平面内的n个自旋的状态相关联的. 这可以等效成在三维Ising模型系统存在一个涉及(n+1)个自旋的长程多体相互作用. 在三维Ising模型中对每一个沿着第三维度的相互作用都存在相同的效应. 所以, 在三维Ising模型中存在非常复杂的非局域的全局效应^[27,29]. 也可以说, 在三维Ising模型中的所有自旋的状态纠缠在一起. 这就是三维Ising模型中存在非平庸的拓扑结构的根源^[27,29].

3.2 相对论粒子统计力学以及与量子场论和规范理论的关系

从定义可知, 纽结是在三维流形Y上一个圆S的镶嵌, Y具有物理三维空间, S可以是在Y上的超弦或者宇宙弦. 当系统中考虑时间依赖关系, 纽结S可以用它的世界面, 一个Riemann面Σ表示^[57]. Y用时空(一个四维流形M)代替. 所以, 研究相对论理论, 将不是在三维流形上研究纽结, 而是在镶嵌在一个光滑四维流形Z上的一个Riemann表面Σ上研究纽结. 纽结理论对应于Σ为S×R¹且Z为Y×R¹的情况, 这里R¹代表时间, S是三维流形Y上的纽结. 特别是, 根据纽结理论可以在四维空间通过改变交叉打开一个三维空间的纽结. 事实上, 在四维空间, 一维弦的任何无交叉的封闭环等价于一个非纽结. 所以, 可以建立一个相对论量子场论或相对论统计力学模型, 适合于研究从S→Z的一个镶嵌ϕ. 在(3+1)维框架下处理三维Ising模型可以实现这个目的. 在文献[27]中建立了复四元数基, 通过计及时间平均对三维Ising模型的配分函数进行四重积分构建(3+1)维框架. 正如在文献[32]中指出的那样, 各态经历假定至今仍没有普遍性的严格证明, 三维Ising模型缺少各态经历性导致时间平均与系综平均不同. 利用附加的一维以及新的拓扑相因子, 实际上是在处理一个具有复四元数基的相对论量子统计力学模型. 在三维Ising模型的t个时间片段之和与在时空框架下表示的(3+1)维Ising模型之间存在等价性. 每个t时间片段的三维Ising模型中的内因子可以在时空框架下重新安排, 平滑交叉的变换(旋转)实际上对应于狭义相对论的Lorentz变换.

Jones多项式不仅在统计力学, 而且在量子场论中经常使用. Witten^[57-59]发现了下式:

$\begin{matrix} V_{L} (e^{2 πi / (k + 2)}) = \int_{A} \exp \{\frac{i}{ℏ} \int_{S^{3}} trace (A \land dA + \frac{2}{3} A \land A \land A)\} \cdot \end{matrix} \begin{matrix} \prod^{} trace (Pexp \oint_{j} A) [DA] \end{matrix}$ (30)

这里, $\begin{matrix} ℏ \end{matrix}$ 为Planck常数, A积分范围覆盖从S³到Lie代数SU(2), 模数为具有规范群SU(2)的作用量的所有函数^[57-59]. Witten积分公式暗示纽结和环对应于每个经典Lie代数的不变量. 可以引入Wilson圈来表示纽结K和场A的关系, $\begin{matrix} W_{K} (A) = trace (Pexp \oint_{K} A) \end{matrix}$ .

在二维共形场论中, 一个圆S上的正则量子化给出一个物理Hilbert空间H_s. 在Hilbert空间H_s上一个矢量 $\begin{matrix} Ψ \end{matrix}$ 是S上适当的场的函数, 对应于一个局域场算符O_ψ. 在共形场论中, Hilbert空间的矢量和局域场算符存在一定关系. 态和局域算符间的关系有三维类似物^[58]. 不过, 按照文献[27]中为三维Ising模型发展的四元数技术, 三维系统的态和局域算符间的关系有新的特征. 由(2+1)维量子化获得的物理Hilbert空间可以解释为(1+1)维共形块的空间^[43,59]. 类似地, 由(3+1)维量子化获得的物理Hilbert空间可以解释为四元数坐标下3个(1+1)维复平面上共形块的空间^[43]. 根据Atiyah^[60]猜想, Jones纽结多项式可以从Floer理论和Donaldson理论中找到一个自然的解释. 这个猜想导致Floer理论和Jones纽结多项式间存在一大类对应关系. 在三维流形Floer理论^[61]和四维流形和Donaldson理论^[62,63]间的联系对在(3+1)维度框架研究三维Ising模型有启发意义. 从这个角度看, 三维Ising模型也可以被视为相对论量子统计力学模型.

一方面, 三维自旋Ising模型可以用Kramers-Wannier对偶变换转变成三维Z₂规范模型^[64,65]. 在三维自旋Ising模型和三维Z₂规范模型间的对偶性确保能够直接应用三维Ising模型的结果来研究三维Z₂规范模型. 同时, 研究三维Ising模型也对理解一系列规范理论有帮助. 另外一方面, 统计力学模型(如Ising模型)的配分函数与一个关联的共形场论的辫子矩阵的矩阵元表示的纽结多项式密切相关, 或者等价地, 与一个量子群的R矩阵的矩阵元密切相关^[58,66]. 纽结多项式的三维表示可以从三维Chern-Simons 规范理论得到. 对经典晶格模型的配分函数的评价可以化简为评价Chern-Simons 规范理论中的Wilson线期望值: 可以由统计力学计算Wilson圈的真空期望值, 如果正确地对应局域权重和顶角组态^[66], 它可以用来表示成适合于SU(2)自旋1/2表示的电荷的公式. Jones多项式对应于规范群SU(2). 实际上, Jones多项式的概念与统计力学的Temperley-Lieb代数紧密关联, 它对理解与Visasoro离散级数相关的可积晶格模型是非常重要的^[58]. 研究三维Ising模型同样对理解共形场论和Chern-Simons规范理论之间的联系有帮助.

3.3 权重因子的物理意义

作者提出的三维Ising模型的权重因子已经被解释成与Berry效应、Aharonov-Bohm效应、Josephson效应等类似的几何(或拓扑)位相^[29,33]. 可以进一步地理解三维Ising模型中出现的新相.

三维Ising模型可以通过Kramers-Wannier对偶变换被映射为三维Z₂规范模型^[64,65]. 在规范理论中, Wilson线对应于一个带电粒子的时空轨迹^[58]. 可以用分数统计研究(2+1)维度的一个粒子, 在2π旋转后量子波函数变化一个相因子 $\begin{matrix} \exp (2 πiδ) \end{matrix}$ . Chern-Simons理论与纽结和环理论相关, 据此可以求出三维流形和纽结的不变量^[59]. Chern-Simons理论中由Wilson线表示的粒子具有 $\begin{matrix} δ = n_{a}^{2} / (2 k) \end{matrix}$ (Abelian理论)或者δ=h (非Abelian理论)的分数统计^[59]. 在做坐标变换时, Wilson线的期望值要乘以一个相因子exp(2πih_a), 这里h_a是场的共形权重. 一个Wilson线的一个扭曲等价于一个位相, 源于一个三价顶角的2个Wilson线的一个编织也等价于一个位相. 据此可以求出SU(N)确定的N维表示Wilson线的skein关系^[58]. 文献[58]导出在具有内线的上交叉和下交叉的2个不同的 ‘flattened’四面体之间的关系, 其中出现与外线的场的共形权重相关的位相. 因为三维Ising模型去除纽结和交叉的过程涉及四面体关系(或者复合Yang-Baxter方程), 那么自然会在Hilbert空间的基函数上出现位相因子. 实际上, 目前一个公认的观点是, 一个系统在不同(时空)坐标之间的变换能够导致规范势(或者相因子), 所以, 去除三维Ising模型中交叉的变换自然也会引入相因子.

三维Ising模型中的位相因子与分数量子Hall效应中非Abelian任意子的相因子类似^[67]. 在二维空间, 如果不切割其它粒子, 一个粒子围绕另外一个粒子的圈就无法变形成一个点, 根此, 可以明确地定义一个粒子围绕另外一个粒子的绕动. 一个二维系统在经历一个非平庸的绕动后不一定必须回到初始态, 2个粒子的轨迹经历2次顺时针的交换可以导致一个非平庸的位相 $\begin{matrix} \exp (2 iϕ) \end{matrix}$ . 任意子就是具有不等于0和π的统计角ϕ的粒子. 辫子准粒子可引发在简并的多体准粒子Hilbert空间的非平庸转动, 需要一个非Abelian的辫子统计. 已知, 三维体系的拓扑性质与二维完全不同. 在三维, 一个粒子围绕另外一个运动的过程拓扑学上等价于没有粒子运动, 所以, 通常经过2次交换粒子后波函数保持不变. 这时存在2种可能性, 对应于对称和反对称波函数, 即经过单次交换粒子后波函数改变一个±符号^[67]. 然而, 对于一个被限制在二维平面上的多体粒子系统(无论它们是Fermi子或Bose子), 存在对其量子力学基态局域扰动的激发态, 这些准粒子可以是任意子. 对于一个系统如果存在高于基态的任意子准粒子激发, 就会产生这个系统的拓扑相因子^[67]. 三维Ising模型的2nlo归一化本征矢量类似于具有一个标量部分和一个三维矢量部分的四元数本征矢量, 而二维Ising模型的本征矢量仅具有一个标量部分和一个一维矢量部分. 在三维的相互作用粒子总是迫使它们先限制到许多二维平面之一上, 然后再转移到另外一个二维平面上, 所以三维Ising模型的配分函数具有二维Ising模型的特征, 但需要引入权重因子. 这是三维Ising模型的拓扑结构的内禀要求. 这与上面有关三维共形变换可分解成3个二维共形变换的讨论是相吻合的, 对应于复数四元数Hilbert空间的四元数坐标的每个复平面^[43], 其上二维共形场的Virasoro代数仍然成立. 三维Ising模型中相互作用类似于在分数量子Hall效应中的局域势阱^[67].

3.4 无限大温度以及附近的奇异性和拓扑相变

到目前为止, 有关猜想精确解的争论^{[29,31-33,68-74]}集中在高温展开是否可以作为评判精确解正确性的标准. 反对者认为, 一个精确解必须通过级数展开的审查^[31,68-73]. 这种观点是建立在相信已经严格证明Ising模型的高温展开的收敛性的基础上的. 然而, 正如已经在文献[29, 32, 33, 74]中指出的那样, 在文献[31, 68~73]中引用的对三维Ising模型的高温展开收敛性的著名定理^[75-86]仅仅对β (=1/(k_BT))>0条件下有严格证明, 对无限大温度(β=0)条件下并无严格证明.

例如, Lebowitz和Penrose^[79]在其论文摘要中明确指出, 他们有关Ising模型单位晶格自由能和分布函数的解析性证明仅在β>0条件下成立. 这篇论文的第102页指出, 因为β=0在(β, z)空间的区域E的边界上, 不存在一个普遍性的条件导致p或n有关于β的级数展开肯定收敛. 他们关于Ising模型的证明与β>0的Yang-Lee定理有关^[16,17], 且仅证明了函数βp的解析性.

下面考察硬核模型和Ising模型的区别, 以及Lebowitz和Penrose^[79]证明硬核模型的条件. 硬核模型势由φ(r)=+, r≤a, 和φ(r)<, r>a (其中, a是一个正值, a>0)^[79]. Ising铁磁体等价于具有吸引势φ(0)=+, 以及φ(r)≤0, r≠0的格气^[79]. 所以, a=0对Ising晶格成立(见文献[17]中第411页条件(9)). 2个模型的区别是, a等于零或者一个正常数. 尽管Lebowitz和Penrose声称硬核模型在β=0对β展开存在解析性, 实际上他们的证明仅针对βp (文献[79]中级数 (4)), 而不是p (为了获得βp和p的等价, 他们设定β=1, 这个条件等价于T=1/k_B≠). 这明确指出, 实际上硬核模型仅在β>0条件下存在解析性.

Lebowitz和Penrose在文献[79]的第二章结尾用了一个词‘implies’引用Gallavotti等^[82,85]的工作, 又在第四章引用Gallavotti等的工作^[86]. 尽管Gallavotti等证明收敛半径大于零, 但是他们并没有涉及β=0的情况^[82,85,86]. 在他们详细证明的论文^[82]的第二页(p.275)中, 为了方便起见, 设β=1. 在文献[86]的方程(5)中定义Z_Λ(Φ)时, 也设定β=1. β=1的条件与β=0相矛盾(为了βf和f等价, 设β=1等价于T=1/k_B≠).

Perk在论文[72]中宣称他的定理2.9严格地证明了约化自由能βf在β=0条件下对β展开的解析性. 实际上, 在他的证明过程中用一个数学技巧回避了在β=0处奇异性的困难. 它首先出现在定义1.4, 用方程(6)的-βf_N定义单位晶格自由能f_N和它的无限大系统的极限值f ^[72]. 随后, 引理2.5延续这种数学技巧来讨论βf_N的奇异性, 据此证明βf的定理2.9^[72]. 在作者的论文^[29]发表后, Perk又发表了一篇评论^[71]. 由于评论^[71]中的观点与前期的评论^{[31,68-70,72,73]}大同小异, 在这里就不再重复作者的反驳意见了.

作者^[29,74]已经指出, 在β=0处, 三维Ising模型的约化自由能βf, 单位晶格自由能f和自由能F的奇异性是不同的. 这是因为在T=有一个奇异性, 与单位晶格自由能f的定义的假设相矛盾, 从而这种定义在T=失去物理含义^{[2,16,17,29,74, 87]}. 在β=0条件下, 要从总自由能F出发来研究系统的奇异性. 除了配分函数Z的根, 还要讨论Z^-1的根. Lee和Yang^[16,17]仅仅讨论配分函数Z的根, 其原因是他们仅对有限温度的奇异性(相变)感兴趣. 作者认为, 为了获得系统的完整信息(特别是在无限大温度处的奇异性), 不仅要讨论配分函数Z的零点, 还要讨论极点. 这是因为, 除了一个负号外, Z=0和Z=的奇异性有相同的特质, 应予以同等关注. 在文献[72]的定义1.4中, 为了避免讨论Z^-1的零点, 负号被移到方程(6)的左边. 但是, 如果人们总是试图用数学技巧掩盖lnZ^-1的奇异性, 就总可以找到一些方法去除lnZ的奇异性, 这与Lee-Yang定理^[16,17]不符. 所以, 在无限大温度零点(和极点)的奇异性的内禀特征与有限温度不同, 不能用通常-βf方法解决.

实际上, 三维Ising模型的确存在3种奇异性^[29,32,74]: (1) H=0, β=β_c; (2) H=±i, β→0; (3) H=0, β=0. 第三种奇异性也具有物理意义^[29,32,74]: 三维Ising模型经历一个从β=0无相互作用的状态到β>0有相互作用的状态的变化. 这2种状态的拓扑结构是不同的, 经历了从平庸的拓扑结构向非平庸的拓扑结构转变的拓扑相变. 这个变化就像在无限大温度及附近存在一个所有相互作用的“开关”, 在这里拓扑结构和相应的相因子发生变化^{[27,29,32,33]}. 自由能F和单位晶格自由能f在β=0处存在不同的奇异性, 这充分支持文献[27]中揭示的事实: 单位晶格自由能f的高温展开在无限大温度和有限温度有2种不同的形式, 一个是平庸的拓扑结构的展开, 另外一个是非平庸的拓扑结构的展开.

4 近似方法研究三维Ising模型的局限性

如上所述, 猜想的精确解是在热力学极限(N→)条件下获得的, 适用于周期性或者开放边界条件. 由于三维Ising模型转移矩阵中内因子引入的全局(拓扑)效应, 导致一个自旋的翻转会敏感地依赖于远处(甚至无限远)一个自旋的排列. 所以, 作者认为, 由于全局(拓扑)效应的存在, 由任何仅仅考虑局域自旋排列或者有限尺寸效应的方法(如低温和高温展开、重整化群、Monte Carlo等)获得的结果对于三维Ising模型均不可以视为精确的. 文献[27,29]已经把猜想的精确解与近似方法的结果做了一个比较详细的对比. 下面, 指出这些近似方法在求解三维Ising模型时的局限性, 从而强调近似方法的结果不能作为评价推定精确解的正确性的标准.

4.1 低温展开

所有的确定级数展开系数的方法在一定程度上都可以视为图形化的, 每一个展开系数对应于一组给定拓扑结构的图形的集合, 按照一定的规则确定每种图形的贡献的数目. 所以, 人们计算所有的贡献数之和来计算要求的展开系数. 对于通常的低温展开技术, 合理的办法是, 定义配分函数使所有自旋向上的状态为零能量状态, 认为低温展开为在这个状态附近的一个微扰^{[3,12,18,88-90]}. 低温展开系统地评估从所有自旋向上态翻转的自旋, 仅仅考虑自旋的局域环境以及相互作用, 忽视了三维Ising模型中的非局域效应(如通过平面的n个自旋的相互作用). 所以, 通常使用的低温展开仅计算了三维Ising模型配分函数和自由能的局域部分. 忽视非局域效应正是三维Ising模型的低温展开发散的原因. 需要注意的是, 在文献[27]中根据2个猜想获得的三维Ising模型的自发磁化强度可以返回到杨振宁的二维Ising模型的解. 如果猜想成立, 猜想的解包含了三维Ising模型物理性质中局域和非局域2部分的贡献. 可以通过比较猜想的解和通常的低温展开的结果, 减去局域部分从中获得非局域的贡献.

4.2 高温展开

众所周知, 通常的高温展开是二维Ising模型的精确展开. 通过计数二维晶格上的回线(多边形), 人们可以容易地写出高温展开的每一项. 这些回线处在自旋向上和自旋向下2个区域的边界^[3,12,18,91]. 然而, 对于三维Ising模型, 首先要解决的是如何正确确定每一项高温展开系数. 基本的困难是, 在三维Ising模型, 自旋向上和自旋向下2个区域的边界不是多边形, 而是多面体. 因为多边形不可能分隔自旋向上和自旋向下的三维磁畴结构. 进一步说, 在三维晶格中存在非平庸的拓扑结构(如Mobius带, Klein瓶, 交叉、纽结以及环等)引起著名的拓扑学困难. 实际上, 所有的多边形是局域的, 无法计及三维Ising模型系统的非局域效应(仅仅对一个沿着第三维度方向2个最近邻自旋的相互作用就涉及在一个平面内n个自旋的所有状态). 由于在高温展开和低温展开之间存在对偶关系, 通常的低温展开的发散对应于高温展开的零收敛半径. 作者推断, 对于三维Ising模型, 在无限大温度以及附近应存在一个拓扑结构的相变, 表明在无限大温度的平庸拓扑结构会变成该温度以下一个非平庸的拓扑结构. 由于存在这样一个拓扑相变, 使得存在数种不同的高温展开成为可能. 这表明, 对于三维Ising模型, 高温展开是不唯一的, 只有计及了非局域贡献的才是正确的.

4.3 重整化群方法

重整化群理论已经广泛地应用于临界现象的研究中, 对于二维Ising模型可给出高精度的结果(与Onsager的精确解非常接近)^[22~24],, 但是, 这种理论存在与低温展开和高温展开类似的不足之处. 尽管重整化群理论是用数学公式描述的, 但并不严格. 在研究三维Ising模型时, 重整化群理论需要引入一些近似, 例如, 展开、微扰、线性化、重整化等等. 在整个计算过程中, 并没有排除与通常的低温展开、高温展开类似的不足之处. 实空间的重整化群技术中采用平均老模型的动力学参数的方法构建新模型的集团(block)参数. 这导致最后的结果敏感地依赖于如何分割Kadanoff集团, 如何定义有效Hamiltonian, 确定集团参数的细节以及计算部分迹等问题. Kadanoff集团越大, 计算越精确, 计算过程也越复杂. 当且仅当Kadanoff集团趋近于无限大并且保留无限多项时, 结果才趋近于精确解. 这通常难以完成, 因为随着Kadanoff集团的增加, 更多的参数会出现在计算过程中, 这使计算变得极其复杂. 对三维Ising模型, 还存在一个非常严重的问题, 这就是如何处理非局域效应. 非局域效应非常复杂, 比如, 仅仅一个沿着第三维度的最近邻的相互作用就涉及一个平面内的n个自旋(在热力学极限条件下n→)的所有可能的状态, 这类似于一种长程的多体相互作用. 这就是说, 任何有限尺寸的集团将切割具有非局域整体效应的n个自旋组成的自旋链. 场论或者k空间的重整化群理论同样也遇到这个难以克服的技术问题, 因为这两者之间有紧密的联系, 基本的思想是相同的, 在ϕ和集团参数之间也有紧密的联系. 到此, 非常清楚地知道, 具有有限集团的微扰的重整化群无法计及三维Ising模型的非局域效应. 所以, 需要发展非微扰的重整化群理论来研究三维Ising模型的临界现象.

4.4 Monte Carlo模拟

众所周知, Monte Carlo法是一个非常有效的计算机模拟方法^[25,92,93], 它可用来数值计算一些物理量的正则热力学平均值. 任何建立在Monte Carlo方法基础上的三维Ising模型的计算机模拟, 均受到尺寸效应的限制, 这是由于三维Ising模型的自旋组态数是按照2^N规律增加的, 其中自旋的数目N→. 一般来说, 对于有限尺寸的小系统应用周期性边界条件. 不过, 这个方法对在热力学极限条件下精确求解三维Ising模型失效. 其原因是存在非局域效应, 沿着第三维度方向上的最近邻相互作用等效于一个长程的多体相互作用. 如上所述, 沿着第三维度方向上2个自旋的最近邻相互作用与平面内n个自旋的可能组态2ⁿ密切相关. 而在热力学极限条件下自旋数n为无限大, 这意味着任何有限尺寸的子系统加周期性边界条件的方法无法高精度地模拟系统的热力学性质. 由于采用周期性边界条件, 有限尺寸三维Ising模型的Monte Carlo模拟会获得没有尖锐峰的比热, 从而无法精确地确定临界点的位置以及无法很好地分析临界现象. 在文献[27]中已经详细地指出了Monte Carlo方法的局限性. 对二维Ising模型, Monte Carlo方法可以获得较高精度的结果, 这不仅仅因为可以模拟大尺寸的二维系统, 更因为在二维Ising模型中不存在非局域效应. 实际上, Monte Carlo方法与重整化群技术的结合也无法克服非局域性所造成的计算困难.

5 结论和问题

本文首先回顾Ising模型的研究历史, 包括Ising模型简介、二维和三维Ising模型的研究进展, 特别是有关二维Ising模型的精确解. 然后介绍作者提出的三维Ising模型的2个猜想以及推定的精确解. 再从拓扑、代数和几何的角度对三维Ising模型的数学结构进行了评述, 并阐明了下述事实.

三维Ising模型的拓扑学问题可以通过在2^nlo空间的自旋表示的2nlo空间旋转变换处理, 这是消除转移矩阵中所有交叉的内禀要求. 同时, 这个矩阵代表纽结对三维Ising模型配分函数的非局域贡献. 消除转移矩阵中所有交叉的变换在波函数上产生了复数相因子ϕ_x, ϕ_y和ϕ_z. 为了严格求解三维Ising模型, 实际上要处理一个相对论量子统计力学模型. 在Jordan代数中的乘法 $\begin{matrix} A \circ B = \frac{1}{2} (AB + BA) \end{matrix}$ 满足构建在文献[27]中三维Ising模型的代数的对易子代数以及组合性质的要求. 为三维Ising模型建立的复数四元数基在Jordan-von Neumann-Wigner 过程中计及了时间平均, 也与四元数量子力学和狭义相对论相关联. 同时, 一个四面体关系(或者一个复合Yang-Baxter方程)也将确保转移矩阵的对易性和三维Ising模型的可积性, 尽管这个问题尚未解决. 作者还深入地讨论了在无限大温度以及附近的奇异性, 指出在β=0处及附近, 三维Ising模型存在一个从平庸的拓扑结构到非平庸拓扑结构的拓扑相变. 由于存在全局(拓扑)效应, 用仅考虑局域自旋排列或者有限尺寸效应的常规方法(如低温展开、高温展开、重整化群、Monte Carlo等)来处理三维Ising模型都不可能获得精确解. 可以用推定的精确解和近似方法的结果之差来估计这些近似方法忽视三维Ising模型拓扑贡献导致的系统误差.

在文献[27]中发展的拓扑学计算方法之后, 在三维Ising模型相关的研究方面又取得一些新进展^{[29,31-38,43,68-74,94-116]}. 这些工作包括三维Ising模型的代数结构以及分形和混沌^[34-38,105]、临界指数的应用以及体系的拓展^[94-110]、拓扑相因子以及拓扑相变^[29,32,33]、与共形场论的关系^[43]、温度与时间的对偶^[104]、时间的自发产生^[116]等. 在这个领域仍需要解决的重要问题有: (1) 严格证明2个猜想的主体; (2) 对于三维简单正交Ising晶格, 严格证明与猜想一相关的旋转角 $\begin{matrix} \overset{‴}{K} = \frac{K' \overset{″}{K}}{K} \end{matrix}$ ; (3) 求解与猜想二相关的拓扑相因子的具体数值. 预计这些问题的解决必将极大地推动统计物理、凝聚态物理、代数、拓扑学、几何、计算机等相关领域的研究进展, 加深人们对三维Ising模型以及相关领域科学问题的认识,

The authors have declared that no competing interests exist.

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三维Ising模型的数学结构与精确解探索*