Al-7Si-Mg�Ͻ����̹����κ�ģ�ͽ�����֦������������ֵģ��*
����1, ������1, ���ڷ�2, ����͢2, ���ٳ�1
1 �廪��ѧ����ѧԺ�Ƚ���������������ص�ʵ����, ���� 100084
2 ��־�Ƽ����޹�˾, ���� 215006

����, ��, 1989����, ��ʿ��

ժҪ

������Ͻ�ɰ������ϵ������ص�, ͨ��ʵ��ͷ�����ͬ���������µ���ȴ����, ���������������Ͻ��κ��ܶ�������κ˹���ȳ�ָ���Ա仯���κ˺���. ͨ����Pandat�������ѧ������ѧ��ƽ����ͼ���ݿ������, �����ÿռ�����仯���㷨, ��������������Ԫ���Ͻ��ά����ά֦��������CAģ��. �ڸ�ģ����, ͬʱ������������ɢ���ɷֹ��䡢���ʹ��䡢��������ȡ���Լ���ͬ��Ԫ֮���໥���õ���Ҫ���ص�Ӱ��. ���ý������κ˺�����ģ��, ģ����Al-7Si-0.36Mg�Ͻ��ڲ�ͬ���������µĶ�ά֦���ݻ�����ò����, ������������Ԫ�ķֲ������Լ�������Ԥ���˶���֦���ۼ��ı仯, ����ʵ���������˶Ա�. ��ά֦����ģ������Ч��ӳ��֦���ռ�ṹ�����ԺͶ�����, ����ʵ�����Ǻ�����.

�ؼ���: ��Ԫ���Ͻ�; �κ�ģ��; Ԫ���Զ���; ֦������; ����֦���ۼ��
��ͼ�����:TG114.4
NUCLEATION MODEL AND DENDRITE GROWTH SIMULATION IN SOLIDIFICATON PROCESS OF Al-7Si-Mg ALLOY
Rui CHEN1, Qingyan XU1, Qinfang WU2, Huiting GUO2, Baicheng LIU1
1 Key Laboratory for Advanced Materials Processing Technology, Ministry of Education, School of Materials Science and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084
2 Mingzhi Technology Co. Limited, Suzhou 215006
XU Qingyan, professor, Tel: (010)62795482, E-mail:scjxqy@mail.tsinghua.edu.cn
Abstract

Due to the extensive applications in automotive and aerospace industries of Al-7Si-Mg casting alloys, its understanding of the dendrite microstructural formation is of great importance to control the desirable microstructure and thereby to modify the performance of castings. In this work, through analyzing the measured cooling curves in different cooling conditions of Al-7Si-0.36Mg ternary alloy during sand casting, a theoretical nucleation model correlated maximum nucleation undercooling with the nucleation density is proposed. Besides, a 2D and 3D cellular automaton (CA) model allowing for the quantitatively predicting dendrite growth of ternary alloys is presented. This model introduces a new tracking neighboring rule algorithm to eliminate the effect of mesh dependency on dendrite growth. The thermodynamic and kinetic data needed in the simulations is obtained by coupling with Pandat software package in combination with thermodynamic/kinetic/equilibrium phase diagram calculation databases. This model has also taken account the multi-component diffusion, constitutional undercooling, curvature undercooling, dendrite preferential growth angles as well as the effect of interactions between the alloying elements etc. This model is applied to quantitatively simulate the dendrite growth with various crystallographic orientations of Al-7Si-0.36Mg ternary alloy in 2D and 3D during polycrystalline solidification, and the predicted secondary dendrite arm spacing (SDAS) shows a reasonable agreement with the experimental results. The experimental observed complicated and diverse dendrite microstructure occurring in solidification process can be well reproduced by this 3D-CA model which has considered the effects of various preferred growth orientations, the interactions of adjacent dendrites as well as the influence of S/L interface anisotropies. The simulated results effectively demonstrated the abilities of this model in prediction of dendrite microstructure in ternary alloys.

Keyword: ternary aluminum alloy; nucleation model; cellular automaton; dendrite growth; secondary dendrite arm spacing

���Ͻ��������ʡ���ǿ���͸�ʴ���׳��͵�һϵ���ŵ�, Ŀǰ��Ϊһ�ֹ��ܽṹ����, �㷺Ӧ���ں��պ��졢�������ҵ硢ʳƷ����ҵ[1]. Al-7Si-Mg (��������, %, ��ͬ)�Ͻ�(��ZL114, A356, A357)���ڵ��͵�Al-Siϵ�������Ͻ�, ��Ϊ�京�нϸߵ�Si����, ʹҺ̬�������нϺõ�������, ���Գ��ʹ��ͱ��ڸ��ӵ�����, ͬʱ����΢��Mg (0.3%~0.7%)Ԫ�صļ���, ��ͨ���γ�Mg2Si������������ʱЧǿ������[2], ���������塢�������������Ҫ�㲿���ĵ��Ͳ���. ������, ����������ҵ�IJ��Ϸ�չ, ��Al-7Si-Mg�Ͻ���������������˸��ߵ�Ҫ��, ���, ���ڸúϽ��ڲ�ͬ�����µ�������Ϊ��΢����֯�ݻ��Լ����ܵȷ���һֱ���ܹ�ע[3,4,5,6].

������ѧ������Ҫ��������֯��Ӱ��, ��������֯�־����ںϽ�ɷּ����칤�ղ���. Ϊ����ߺϽ��ǿ��Ч��, ʵ�ʺϽ�һ�㶼���ж��ֺϽ�Ԫ��, �����о���ͬ���������Զ�Ԫ�Ͻ�������֯��Ӱ����ɾ�����Ҫ����������͹��̼�ֵ. ����Al-7Si-Mg�Ͻ���˵, �úϽ�ij����������¶�������Խ�խ, �ڹ����γ�֮ǰ, �����е�֦����֯û���㹻��ʱ�����֦���۵ij������, ���ԸúϽ��֦������֯һ��ȽϷ���. ֦����һ����֦���ۼ��, �����Ƕ���֦���ۼ��, �����ڱ���������֯��������Ҫ����, ���Сֱ��Ӱ���ųɷ֡��ڶ�������׵ķֲ�, �Ӷ�Ӱ��������ʹ������[7]. ������, ����֦���ۼ������������ѧ����֮��Ĺ�ϵ���������ǵĹ㷺��ע[1,7,8,9,10].

���ż���������Ŀ��ٷ�չ, ��ֵģ�⼼����Ϊ��ǰһ��Ԥ��������֯�ݱ����Ч;��, �õ��˿��ٷ�չ. ͨ���Բ�ͬ���������µ�΢����֯�ݱ��������֯�������ж���ģ��, �Ӷ��������ֲ�����ѧ���ܽ���Ԥ���Ѿ���Ϊ����. Ŀǰ, ΢����֯��ֵģ�����Ҫ������Ԫ���Զ���(CA)�����ೡ(PF)��, ����, CA�����нϸߵļ���Ч��, ͨ���������ɢ��������ɢ�Լ�֦����������ѧ��, �����ϸ��ӵ�����֦����/Һ������̬�Լ����ʷֲ�����ѧ����, �Ӷ��ڸ���߶���ʵ�ֶ�֦����ò�ݻ����̵�ģ��, ���ӽӽ��ڹ���Ӧ��ʵ��. ���, ��Щ������չ�Ͽ�, ��ʵ���еõ��˹㷺��Ӧ��[11,12,13,14]. ����[11]�ڴ���ʵ��ͳ�Ʒ�������֮��, �����˵�ѹ����ZL114A���Ͻ�˲ʱ�κ�ģ�ͺ���Ӧ��CA��, �����ý��ݼ���չ��ģ���ʵ���о�, �����Ǻ�����. ������[12]���������[13]�ֱ����þ�Ͻ�hcp�ص�, ͨ�����岻ͬ���ھӵ�Ԫ���ͺͲ������, ������������þ�Ͻ�hcp�ṹ��֦������CAģ��, �����ý�����ģ�ͷֱ�ģ���˲�ͬ��ȴ������þ�Ͻ��������֯�Լ���ͬѹ��������þ�Ͻ��֦����ò, ����ʵ�������жԱ�. ʯ����[14]��͸���Ͻ�NH4Cl-H2Oˮ��Һ��������ʵ����Ϊ����, ͨ������һ�ָĽ���CAģ��ģ��ͷ����˲�ͬ�¶��ݶȡ�֦������ȡ���Լ���ͬ�����ٶȶ���״��������̬��Ӱ��. Ȼ��, ʵ��Ӧ�õĺϽ��������Ԫ���Ƕ�Ԫ�Ͻ�, ��������ģ�Ͷ���Ҫ�����ڶ�Ԫ�Ͻ�֦����ģ��, ���Խ�������Ԫ�Ͻ�֦������ģ��, �����Ǵ����۷������ǹ���Ӧ�õȽǶȶ��Ƿdz���Ҫ��. Zhu��[15]ͨ����CAģ��������ѧ��ƽ��������ݿ�(PanEngine)�����, ������������������Ԫ���Ͻ�֦��������΢��ƫ������ѧģ��, ����Scheilģ��Ԥ�������жԱ�. ���Ǹ�ģ������Ķ���ѧ����ϵ���Ǿ����Բ���, ��ֵѡȡ�Ĵ�С��Ӱ�������. ����[16~18]�ڼ����Ԫ�Ͻ�֦������ʱ, ��Ҫ���ڽ���ֲ�ƽ�������������ٶ�, �Ӷ��������������ı仯. ���÷�����Ҫ�����淨��, ��׼ȷ����/Һ���淨��Ƚϸ���, �ر��Ƕ���ά֦���ļ���, ͬʱ�÷���һ����Ҫͨ�������ķ�ʽ�������. ���, ���еĶ�Ԫ�Ͻ�֦������CAģ�ͻ����һ���ĸĽ�������. ʵ�ʵ����̹����漰����ά���ӵĶ�֦���ռ�ṹ, ���Խ����ܹ�������ά��֦���������̵�CAģ��, ʹ�ü��������ӷ���ʵ��������֯, ��Ŀǰ֦��ģ���һ���ѵ�. ����, ���ʵ�ʺϽ���ϵ, ��Ϲ�ҵ����ʵ�ʿ�չģ���о�, ��ǿģ�͵�ʵ����Ҳ�ǽ��ķ�չ����[19].

�κ������̹��̵ĵ�һ��, �����������������;���ֲ�, ��׼ȷԤ��������֯�������Ⱦ�����, ��˽������ʵ��κ�ģ���Ե���Ϊ��Ҫ. �������̹���΢����֯ģ������û���Gauss�ֲ��������κ�ģ��[20], Oldfield[21]���������ģ�⼤��������������κ�ģ�ͻ���Stefanescu��[22]�����˲ʱ�κ�ģ��. Gauss�����κ�ģ�͵ľ����ܶ�n(DT)���Ա�ʾΪ�����DT�ĺ���, �������ø�ģ��ȷ�������ܶȻ������յ��κ���Ŀʱ, ���ȱ���ⶨƽ���κ˹����DTmn, ����ȱ�׼ƫ��DT s�Լ�����κ��ʵ��ܶ�nmax, ����3�������Ƚ����Բ��, ��Ҫ�ⶨ��ͬ�����DT�µ��κ��ܶȽ�����ϵõ�, �����κ��ܶȼ���������3��������ƫ��Ƚ�����, ��������΢С��֦���������� (mm2�߶�)��, ��ģ�ͼ���õ��������κ���Ŀ������ʵ��ƫ��ϴ�. Oldfield�κ�ģ���Ǹ���ʵ������ͳ�ƻ��, Ԥ������Խ�Ϊ׼ȷ, ���Ǹ�ģ���е��κ˲���ȱ����ȷ����������.

���������Ȼ���ʵ�����ݵ�ͳ��, ����������Al-7Si-0.36Mg�Ͻ��ڽϵ���ȴ����������(ɰ����������)���̵��κ�ģ��, ����CA֦������ģ�������, ʹ��ģ����̸��ӷ������̹���������. ͨ����Pandat�������ѧ������ѧ���ݿ������, ����������ģ����Ԫ���Ͻ�֦�������Ķ�ά����άCAģ��, ��ͨ���ռ�����任���㷨, ����������������Զ�֦��������Ӱ��, ʵ������Ƕ�֦���������̵�����. ���ý������κ˺�����ģ��ģ��Al-7Si-0.36Mg�Ͻ��ڲ�ͬ���������µ�������֯, ����ʵ�������бȽ�.

1 �κ�ģ�ͽ���

Oldfield[21]����ʵ��ͳ��, ������Ԥ���������������̹����й����Ż���ʯī���κ��ܶȵĺ���, ��ģ����Ϊ, �κ��ܶ�N�ɱ�ʾΪ����κ˹����DTm�ĺ���;

(1)N=����Tmk

ʽ��, y��k��ͨ��ʵ��ͳ�ƻ�õ��κ˳���; ��Tm=Tliq-Tmin, ����, TliqΪƽ��Һ�����¶�, Tmin��Ӧ����ȴ�����ϵ�����κ��¶�. ���ڸ�ģ�ͻ���ʵ��������ϻ��, �����, �����Խ�Ϊ׼ȷ, ����Ӧ����ǿ, Ŀǰ�㷺Ӧ���ڸ���ģ���������, ����ģ���еIJ���ȱ����ȷ��������. �����������ģ��˼��, ���������������Ͻ���ᾧ���̵��κ�ģ��, ͬʱģ���еIJ���������ȷ����������, �����ܹ��������ϵ�֦������ģ�͵���.

Ϊ�˽�������Al-Ti-Bϸ����������Ͻ��������̹��̵��κ�ģ��, ���˸��ӵ��κ˱���, ������µļ�������: (1) �����Ǿ��˵��ܽ���ϲ�, ������ԭʼ�κ���Ŀ�������յľ�����Ŀ, ͬʱ����ϸ������˥��Ӱ��; (2) ��������[23,24], ����Al-Ti-B���������Ͻ�����, a-Al�ij�ʼ�κ˹���ȷdz�С, ����С��0.5 K, �������Դﵽ0.01 K, ��˿�����Ϊ���¶�һ������Һ�����¶�ʱ, �κ˾Ϳ�ʼ, �����¶ȴﵽTminʱ, �κ˽���; (3) ʵ���й۲쵽TiB2����ò���������ΰ�״, ����������TiB2��Ψһ�κ˺���[25,26], ��{0001}������ͼ1a��ʾ.

���ѧ��[25,26]��Ծ���Al-Ti-B���������Ͻ������е� a-Al�κ˹��̽�������ص�ʵ���о�, �о�����, a-Alֻ��TiB2��{0001}�����������κ�. ����, �κ˵ĺ��Ļ�����TiB2�ĵ�����Χ����, ֱ����������{0001}����, ֮���������Ҫͨ����С��/Һ��������ʰ뾶rSL��ʵ��, ��ͼ1b�еĸ߶�h��������. ����h����, rSL��С, ���Ǹ���������������[25], �ڹ̶��Ĺ����DT��, rSL����С���ٽ���İ뾶r*, ��rSL��r*. r*��DT�й�:

(2)r*=2��SL��SV��T

ʽ��, ��SL��ʾ��/Һ������, ��SV�ǵ�λ������ۻ���. ͨ��ʽ(2)���Կ���, ֻ��ͨ������T, ��Сr*, a-Al���ܵõ���һ������. �� a-Al��TiB2�ĵ��ϴﵽ��ͼ1b����ʾ�İ�����״ʱ, rSL�ﵽ��Сֵ, �� rSL=0.5dN(����, dNΪͼ1b��ʾ���κ˳ĵ�ֱ��), ֮���������������. ���ݼ���(2), ���κ˽׶�, ���¶Ƚ�����Tminʱ, �κ˹���ȴﵽ���ֵ��Tm, ��ʱ�ܹ��κ˵ijĵ�ֱ����С, �ɱ�ʾΪ:

(3)dN*=4��SL��SV��Tm

��ʽ(3)��֪, ����֪TiB2�κ˳ĵ׵ijߴ�ֲ�, �Ϳ��Խ����κ��ܶȺͦ�Tm֮��ĺ�����ϵ.

Greer��[25]����ɨ��羵(SEM)ͼ���������, ��Al-5Ti-1B (��������, %)�������е�TiB2�����ijߴ�ֲ������˴���������ͳ��, ����ָ�����������������, �õ������µķֲ�����:

(4)N(dN)=N0d0exp(-dNd0)

ʽ��, d0��ʾ�ߴ�ֲ�������ֱ��, N0Ϊ��λ����������ܵ�TiB2������Ŀ, N(dN)ΪԲ��ֱ����dN~dN+ddN֮���TiB2�����ܶ�. ����N(dN)���dN�����߹�ϵ��ͼ2a��ʾ, ����N(dN)�ڿ���ֱ��dN,min~dN,��(����, dN,min��dN,���ֱ�Ϊ��С������κ˳ĵ�ֱ��)֮����Χ�ɵ����������ʾ��λ�������ܵ��κ˳ĵ���ĿN0, ����ɫ���� dN*~dN,��֮����Χ�ɵ�����������ʾ�ܹ��κ˵���Ч�ĵ���Ŀ. ���ݼ���(2), �������еĹ���ȴﵽ���ֵ��Tmʱ, ��ͼ2b��ʾ, �κ˽���, ��ʱ�����ߴ�dN�� dN*��TiB2�������ܴﵽ�κ�����, ���ߴ�dN�� dN*�Ŀ����ﲻ��������κ˹����. ���, ������ֻ���������ֵ�TiB2�����ܹ���Ϊ��Ч���κ˳ĵ�. ���ڹ̶�������������, ͨ������Tmin, ����Tm, ���������ܹ��κ˵���Ч�ĵ�����, �Ͻ�ϸ��Ч����ǿ.

Fig.1 Schematic of active circular nucleant surface of TiB2 (a) and the growth of a-Al phase from such a nucleant site with a diameter of dN(b) (L and S represent liquid and solid phases, respectively. h is the height of the nucleus on the nucleant site)ͼ1 TiB2��Ч�κ��漰 a-Al������TiB2�ĵ��ϵ��κ˹���ʾ��ͼ

Fig.2 ͼ2 �κ˳ĵ׳ߴ�ֲ���������ȴ����ʾ��ͼ

ͨ������, ���Եõ���Ч���κ˳ĵ���Ŀ, �Ӷ����Ի�õ�λ�����е��κ���NV, ����㹫ʽ������ʾ:

(5)NV=��dN*��N(dN)ddN

���ʽ(3)~(5), NV���Ա�ʾΪ:

(6)NV=N0exp(-a��Tm)

(7)a=4��SL��SVd0

���Կ���, ʽ(6)�е�2������N0��a������ȷ����������, ����a�� ��SL, ?SV�Լ�d0��3��������ͬ����. ����ȱ��N0, ��SL, ��SV��d0����������, �޷����ʽ(6)�в����ľ���ֵ, ��˱�������Ҫ����ʵ������NV�ͦ�Tm, ͨ��������ϵķ�ʽ�����N0��a����Ӧֵ.

2 ֦��������������

���Ͻ�������֯ϸ���̶���Ҫ������������, һ�Ǿ�����ϸ��, ��һ�����Ƕ���֦���ۼ���ϸ��. ǰһ����Ҫ���κ�������Ӱ��, ������ȡ������������. ��˱������ڽ����κ�ģ�͵Ļ�����, ͨ������֦������CAģ��������֦���ڲ�ͬ���������µ��������̲�Ԥ�����յ�֦����ò. ��ģ����Ҫ�������º����������֦�����������̽�������: (1) ����΢�ۼ������С, ��mm�߶�, ��˿��Կ���������ɢ��΢�ۼ����������������غ�, �����÷�ձ߽�����; ͬʱ�����������������¶ȳ�����, ���¶�ֵ����ʵ�ʵ���ȴ���������; (2) ����Al��SiԪ�ص��ܶȲ����С, ��Ȼ������֦������Ӱ���С, ��˲�����Һ��������Ӱ��; (3) ���Զ���ѧ�����, ���ģ��ֻ������ģ���P��clet�������µ�֦������.

2.1 ����Ԫ������ɢ����

΢��CA��Ԫ��Һ̬����̬�͹�/Һ����3��״̬. ���ڽ��浥Ԫ�����ʵ������ų�ÿ������Ԫ��, ʹ�ý���ǰ�ش��������ݶ�, �Ӷ��ƶ�������ɢ�Ľ���, �����Ҫ��ÿ��Ԫ�طֱ����������ɢ���̵����, �乫ʽΪ:

(8)?wi??t=??(��j=Si,MgDij??wj?)+wi?(1-ki)?fS?t

ʽ��, wi?��ʾ��Ԫi (Si����Mg)�� f��(Һ����ǹ���)���е����ʺ���; Dij?Ϊ f���е���ɢ����; fSΪ�������; tΪʱ��; kiΪƽ�����ʷ���ϵ��, ��Ԫ������������dz���, ������ɷֺ��¶��й�, ��Ҫ���ƽ����ͼ���ݿ������.

2.2 ��������ѧ��������������ļ���

���ڽ��浥Ԫ, �ɷֹ���ͽ������ʵĹ�ͬ���ÿ���ʹ���浥Ԫ����ֲ�����ѧƽ������, �������ƽ���¶ȿ��Ա�ʾΪ:

(9)T(t)=TLliq(wSiL,wMgL)-��TC-��TR

ʽ��, TLliq(wSi,LwMgL)Ϊƽ��Һ�����¶�, ���Ը���Si��Mg�ijɷ�ֵ wSiL�� wMgL, ��ƽ����ͼ�϶�ȡ; T(t)�Ǽ������е�Ԫ��ʵ���¶�ֵ, ͨ����ȴ���������; ��TC�� ��TR�ֱ��Ӧ�ڳɷֹ�������ʹ���, ���ǵļ��㹫ʽΪ:

(10)��TC=TLliq(wSiL,wMgL)-TLliq(wSiL*,wMgL*)��

(10)��?TLliq(wSiL,wMgL)?wiL(wiL-wiL*)

(11)��TR=1��SV?����i=12��(n)+?2��(n)?��i2

ʽ��, ?TLliq(wSi,LwMgL)/?wiL��һ���ʾ��Ԫi�ڳɷ�Ϊ wiLʱ��Һ����б��; wiL*�ǽ��浥Ԫ�ľֲ�ƽ�����ʳɷ�; ��Ϊ�ֲ�����ƽ������, �ò����ļ�����Բμ�����[27,28]; q1�� q2 �����ڱ�ʾ���浥Ԫ�ռ䷨�߷���ĽǶ�, ��1=arcos?fs?x/(?fs?x)2+(?fs?y)2, ��2=arcos?fs?z/(?fs?x)2+(?fs?y)2+(?fs?z)2; ʽ(11)�е� g(n)Ϊ�������Ժ���, ����ʽ[16]����:

(12)��(n)=����SV(1-3��)?

(12)1+4��1-3��(cos4��1+sin4��1(1-2sin2��2cos2��2))

����, GΪGibbs-Thomsonϵ��, ��Ϊ�����ܸ�������ϵ��.

���浥Ԫ��������ļ�����Ҫ�����ַ�ʽ, һ���ǻ��ڹ�/Һ�������ƹ����������غ㷽�������������ٶ�, �Ӷ��õ������ʵ�������; ��һ���ǿ��ǽ���ֲ�ƽ��, ����ƽ�����ʷ���ϵ��С��1�ĺϽ�, ��Ϊ����ƽ�����ʳɷֺͽ���ʵ�����ʳɷֵIJ�ֵ��֦��������������, �Ӷ����þֲ��ܸ˶���ֱ����ù������������, ���������֦�������ٶ�, ����Ч�ʸ�. ��ģ����Ҫ���ú�һ�ַ���. ��ijһ���浥Ԫ��ijһʱ�䲽�������ڹ������������, ���ų����ֵ�Si��MgԪ��, �������·���:

(13)wSiL*-wSiL=wSiL*(1-kSi)��fS

(14)wMgL*-wMgL=wMgL*(1-kMg)��fS

ʽ��, DfSΪ���浥Ԫ��ÿһʱ�䲽���Ĺ����������. ����ʽ(9)~(14), ����Ψһ��� wSiL*, wMgL*�Լ���fS��3��δ֪��.

2.3 ����Ƕ�֦����������

���̹�����, ֦�����������������������, ��ͼ3a����ʾ, ��������CA����ĸ�������, �ᵼ��֦������������ƫ������е�������������. Ϊ����������������Ը�֦�����������Ĺ���Ӱ��, �����������˿ռ�����任��ƫ���㷨��ʵ������Ƕ�֦��������ģ��.

��ͼ3a��ʾ, ����ÿһ��֦������������Եľֲ�����ϵ(x0, y0, z0), ���������Ÿ��Ե�[001]����, ����������ϵ(x, y, z)�������񻮷ַ���, ���2������ϵ֮���λ�ù�ϵ����ͨ�����µĿռ�������ת����Rotate1, Rotate2, Rotate3��ʵ��.

(15)Rotate1=cos��-sin��0sin��cos��0001Rotate2=cos��0sin��010-sin��0cos��Rotate3=1000cos��-sin��0sin��cos��

(16)xyz=Rotate1?Rotate2?Rotate3x0y0z0

����, a, b, g��ʾ������ϵ֮���Euler��, ��ͼ3b��ʾ. �ڶ�ά������, �� a=0, b=0, ������任��ϵ���Լ�Ϊ:

(17)xy=cos��-sin��sin��cos��x0y0

������������ά��ƫ�����������㷨���άƫ�������㷨[27], �����ԭ����Ա���Ϊ: ��ijһ������������Ϊ( a, b, g)�ľ����κ�, ������fS������ƫ���������嶥�㵽�����ĵľ���L(t), ����㹫ʽΪ:

Fig.3 Schematic of the various growth orientations of different grains (a), and the location relationship between the local coordinate system (x0, y0, z0) and the world coordinate system (x, y, z) (b) ( a, b, g are the three Euler angles used to determine the relationship between (x0, y0, z0) and (x, y, z))ͼ3 ��ͬ���������Ƕ�֦��ʾ��ͼ���ֲ�����ϵ(x0, y0, z0)����������ϵ(x, y, z)֮���λ�ù�ϵ

(18)L(t+��t)=L(t)+2��x?��fS

����, ��xΪ����ߴ�. ��L(t)����Ժ�, �Ϳ���֪��ƫ�����������6�������ھֲ�����ϵ(x0, y0, z0)�е�����λ��, Ȼ������ʽ(16)�Ϳ��Լ���õ�6����������������ϵ(x, y, z)�е�����λ��. ����ijһʱ���������嶥����������ΧijҺ�൥Ԫʱ, ��Һ�൥Ԫ�ͻᱻ�����Ϊ���浥Ԫ, ���������������Ƕ�ֵ( a, b, g). �ں���������������, �õ�ԪҲ�����������fS�����������������嶥������λ��, �Ӷ���ʵ�ֶ���ΧҺ�൥Ԫ�IJ���.

3 ʵ���о�
3.1 ʵ�鷽��

������������Ҫ�ɷ�ΪAl-7Si-0.36Mg (��������, %)���������Ͻ�, �����¶�Ϊ720~740 ��, ����Ar����������, Al-5Ti-1Bϸ�������Լ�Al-10Sr���ʴ���. Ϊ�˻�ò�ͬ����������, �������Ľ���Һ��ע�����н�����״��ʯӢɰɰ����ǻ����, ͬʱΪ�˼�¼��ͬ���ݵ����̹���, ��ÿ�����ݵ�����λ�ö�������һ��K-���ȵ�ż, �����ӵ��¶ȼ�¼�Ǽ�¼ÿ��������ȴ����. ������������״�ߴ��Լ��ȵ�ż�IJ���λ����ͼ4��ʾ, ����ʵ�ĵ㴦�����ȵ�ż�IJ���λ��, ͬʱ���ȵ�ż�IJ���λ�ð��ս��ݵĺ�ȴӺ񵽱����δ�No.1~No.7���б��.

Ϊ�˷�����ͬ���������µ���֯��ò�������ߴ��С, ��ÿ�����µ㴦�ֱ��ȡֱ��Ϊ8 mm��Բ�ν�������(No.7��������ֱ��Ϊ6 mm), ͨ����׼�����������ý�������. ����������������Ĥ��ƫ�����༼�������ֲ�ͬ�ľ���. ������Ĥ�����õ���38 mL H2SO4+43 mL H3PO4+19 mL H2O���ƳɵĻ����Һ, ��ѹΪ15 V, ����������0.05~0.10 A��Χ��, ��Ĥʱ��Լ40~60 s. ��Ĥ���������Axio Scope.Al���Ҵ��в������Ľ�����΢��(OM)�½��й۲�. ������������������ⶨ�澧���ܶ�NS, �乫ʽΪ:

(19)NS=N1+0.5N2+1A

ʽ��, N1��ʾ����A�������ľ�������, N2Ϊ����A��Ե�ϵľ�����Ŀ, Ȼ�����Poisson-Voronoiģ��[29] NV=0.568(NS)1.5, ����õ��徧���ܶ�NV. ����֦���ۼ����ý��߷����ⶨ.

3.2 ʵ���������

ͼ5�Dz�ͬ���µ�(No.1~No.7)����ȴ����. ���Կ���, �úϽ�����̹�����Ҫ����2����, ������ a-Al �κ�����, �������Կ��Կ��������̳���, ���� a-Al�ᾧDZ�ȵ��ͷ�, ���¶ȴﵽTmin֮��, ������¶ȵĻ���(�ٻ�����). ���¶ȴﵽ�����¶�ʱ, ����(Al+Si)������Ӧ, �������ڴ�������DZ�ȵ��ͷ�, �¶Ƚ����������Լ���. ��ͼ5�������Կ���, ���Ž��ݺ�ȴ�No.1��40 mm��С��No.7��4 mm, Tmin���ν���, ��No.1��611.3 �潵�͵�No.7��595 ��, Tmin�Ľ��͵����κ���������, �Ӷ�ʹ���������γɸ������Ч����, �κ��ܶ�����.

Fig.4 Schematic of dimensions of the step shape casting used to study the effects of cooling rate (unit: mm)ͼ4 ʵ���ý����������γߴ�ʾ��ͼ

Fig.5 Cooling curves of different steps (No.1~No.7) with various thicknesses of Al-7Si-0.36Mg alloy sample casting ( Inset show the enlarged view of the nucleation interval on the cooling curves)ͼ5 Al-7Si-0.36Mg�Ͻ�ͬ���ݴ���õ���ȴ����

ͼ6�Dz��µ�No.1~No.7��������΢����֯��Ƭ. ������ά�ռ�֦���ṹ�ĸ�����, ��άƽ���Ϲ۲쵽��֦�������Ǻ��й���, �������������� a-Al֦����ƽ�����ضԳƽṹ. ����, ��ͼ6�п��Կ���, �ڽϵ͵���ȴ����������, �����κ���Ŀ����, �κ�λ�ò�����, ʹ��ͬһ���������յ�֦���ߴ���ϴ�, ����Ϊ���κ��ܶȸߵ�λ��֦���ߴ��С, �����κ��ܶȵ͵�λ��, ֦����������������, ֦���ߴ�ϴ�. ������ȴ���ʵ����, �κ��ܶ�����, �κ˺���λ�÷ֲ����ھ���, ���յ�֦���ߴ��𲻴�. Ϊ�˶���������ͬ���µ㴦�����̲�������֯����, ��1ͳ����ÿһ���µ㴦����С�κ��¶�Tmin, ����κ˹���Ȧ�Tm, �����κ��¶�Te, ƽ����ȴ����Rc, �����ܶ�, ����֦���ۼ��Ȳ���. ����1�п��Կ���, ���Ž��ݺ�ȱ�С, �����ɢ��������ǿ, �����ܶ�NS����, ͬʱϸ������֦���ۼ��.

Ϊ�����ʽ(6)���еIJ���N0��a, ��Ҫ������1�еĦ�Tm��NV���ݽ����������. ���ȶ�ʽ(6)����ȡ����, �÷��̿��Լ�Ϊln(NV)����ڦ�Tm-1��һ�κ�����ʽ:

(20)ln(NV)=ln(N0)-a��Tm-1

ͼ7Ϊln(NV)�릤Tm-1�ĺ�����ϵ. ��ͼ�п��Կ���, No.1~No.6��ln(NV)����ڦ�Tm-1���������Թ�ϵ, ����No.7������ƫ��Ƚϴ�. ����Ҫԭ���Dz��No.7��λ�úܱ�(4 mm), ���ͱ�����������ʺ��Ķ��κ˹���Ӱ��ܴ�, �Ѿ�������ΪTiB2��Ψһ���κ˺���, �����κ˼�������(3)��������. ����Ǹô���ɢ��Ч����ǿ, ���Եõ�׼ȷ�IJ�������(ͼ5), ���ܻᵼ����1�е�Tmin���ϴ�. ����, ��������Ҫ����No.1~No.6��ln(NV)�ͦ�Tm-1���ݽ������, �õ��ĺ�����ϵʽ��ͼ7����ʾ, �Ӷ����Եõ�N0=e7.776=2382.7 cm-3, a=7.747 ��, ����ʽ(6), ��õ��κ�ģ��Ϊ:

(21)NV=2382.7exp(-7.747��Tm)

�������Ƶķ���, Ҳ���Եõ����κ��ܶȺ���:

NS=260.1exp(-5.165��Tm))

Fig.6 OM images under polarized light showing the dendrite microstructure and grain size corresponding to the positions of No.1 (a), No.2 (b), No.3 (c), No.4 (d), No.5 (e), No.6 (f) and No.7 (g) (No.1~No.6: diameter 8 mm, No.7: diameter 6 mm)ͼ6 ���µ�No.1~No.7��΢����֯��ò�;����ߴ�

Table 1 Experimental measured of solidification parameters and microstructure data for Al-7Si-0.36Mg alloy ��1 ʵ���õ����̲������κ��ܶȵ�΢����֯����

Fig.7 Linear relationship between grain density lnNV and maximum nucleation undercooling ��Tm-1in the Al-7Si-0.36Mg alloyͼ7 Al-7Si-0.36Mg�Ͻ��lnNV�릤Tm-1�ĺ�����ϵ

����û�п���No.7���ݵ������, ��������õ��κ˺�������No.7��������������������, �ں����Ĺ����л����һ������. ���ø�ģ�ͽ����κ��ܶ�Ԥ��ǰ, ������Ҫͨ��ʵ�����ģ��õ�����ijһ�㴦��Ӧ����ȴ����, �������κ˹���Ȧ�Tm, �Ӷ��õ��õ㴦���κ��ܶ�.

4 ��������
4.1 ��ά֦������ģ��

���������ý������κ�ģ�ͺ���Ԫ֦������CA�㷨, ���No.1~No.7���µ㴦��΢����֯��չ��Ӧ����ֵģ��. Ϊ���������������κ�ģ�Ͷ��ڸúϽ��κ˹��̵�������, No.1~No.6���µ㴦���κ���Ŀ��ʽ(22)����õ�, No.7��������1��ʵ��ֵ����, ����ģ������Ҫ���¶�ֵͨ����ѯʵ�ʲ�������ȴ���߻��. ģ�������õ�Al-7Si-0.36Mg�Ͻ�������Բ�������2����ʾ. ģ��������������ĿΪ1800��1800, ����ߴ�Ϊ4 mm, ֦�������������Ƕ��������. ͼ8������No.6���µ㴦��֦���ݻ����̺����ʳ��ֲ�. ��ͼ�п��Կ���, �����̳���, ����֦����������, ����ǰ�����ʸ����̶Ƚϵ�, ֦�������ضԳƵ���ò���Ÿ��Եľ���ȡ����������, ����û�г������Ե�֦���۷�֧����(ͼ8a). �����¶ȵĽ���, ֦����������v����(�͡ئ�T2), ����ǰ�����ʸ����̶ȼӾ�, ���³ɷֹ�������, �Ӷ�ʹ��/Һ������̬ʧ��, �������Եķֲ�����, ����֦���۸߶ȷ���(ͼ8b). ����, ����֦�����ϳ���, ����֦����������ܵ��໥�谭. �����谭����Ҳ��Ҫ�����ʳ��仯����ʽ���ֳ���. ��������֦���໥����ʱ, ����֮���ų�����������û�нϺõ���ɢͨ�������ܼ�ʱ����, �Ӷ��ڽ���ǰ�ظ����γɸ�Ũ��Һ����, ���¸ô���֦���������ʼ���, ʹ��֦������Ϊ���Գ�����(ͼ8b). ������ĩ��, ʣ��Һ���������ʸ߶ȸ���, ֦����˵������ܵ�����, ��ʱ֦���Ľ�һ��������Ҫͨ��֦���۵��������ֻ����ۺϵȷ�ʽ��ʵ��, ������֦���ۼ����Զ��ĵ�����һ�����ʵķ�Χ֮��(ͼ8c).

Fig.8 Evolution of simulated dendrite morphologies and the distributions of Si solute solidified at the position of No.6 for solidification time t=5.5 s (a), 9.7 s (b) and 20.1 s (c)ͼ8 ģ��õ�No.6��㴦��΢����֯�ݻ���Si��Ԫ���ʳ��仯����

Table 2 Parameters of Al-7Si-0.36Mg alloy used in the simulations ��2 Al-7Si-0.36Mg�Ͻ�ģ������IJ���

Fig.9 Simulated final dendrite microstructures of the positions No.2 (a), No.4 (b), No.6 (c) and No.7 (d) (Different colors represent different dendrites)ͼ9 ģ���õ�No.2, No.4, No.6��No.7���µ㴦������������֯

Fig.10 Comparison between the predicted secondary dendrite arm spacing and the experimental ones solidified in different cooling conditionsͼ10 ��ͬ���µ�λ�õĶ���֦���ۼ��ģ������ʵ�����Ա�

ͼ9��ʾ���Dz�ͬ����������ģ��õ�������������֯. ���Կ���, ������ȴ���ʵ�����, �κ���Ŀ����, �����ߴ��С, ����֦���۲���ϸ��, ģ��Ľ����ͼ6b, d, f, g�е�ʵ���������. Ϊ�˶�����˵��ģ������׼ȷ��, ͼ10�����˲�ͬ���µ㴦�Ķ���֦���ۼ���Ԥ��ֵ��ʵ��ֵ. ��ͼ�п��Կ���, ģ������ʵ�����Ǻ�����, ���ߵ����ֵ����������4%����. ������[7,30]��, Ϊ��������ȴ���ʶ�֦����ϸ���̶ȵ�Ӱ��, �Ѷ���֦���ۼ����ƽ����ȴ����Rcͨ����Ӧ���ݺ�����ϵʽ l2=aRc-b��������, ����a��bΪϵ��. ������Ҳͨ�����ַ�ʽ��ģ��õ������ݽ��������, �õ��ĺ�����ϵʽΪ l2=42.8Rc-0.302, ��������[30]��ͨ������ʵ������ϵõ��Ĺ�ϵʽ l2=39.4Rc-0.317�dz��ӽ�. ����ʵ���ģ��ĶԱ������˸�ģ����ģ��Al-7Si-0.36Mg�Ͻ�֦�����������׼ȷ��, ����֤ʵ��ģ�Ϳ������ڸúϽ����֦���ۼ���Ԥ��, Ϊ����������Ԥ���ṩ��ǰ������.

Fig.11 Simulated evolution of multi-equiaxed dendrites for Al-7Si-0.36Mg alloy solidified at the position of No.7 (fs��solid fraction)ͼ11 Al-7Si-0.36Mg�Ͻ���No.7λ�ô�����ά��֦����֯�ݱ����

4.2 ��ά֦������ģ��

����֦����ʵ��������������ά�ռ�ṹ, ��άƽ��֦����ģ��(ͼ9)����˵��ʵ�ʹ۲쵽�ļ��临�ӵ�֦����ò(ͼ6), ��˴���ά�Ƕȶ�֦�����ݱ���̽���ģ���Ƿdz���Ҫ��, Ŀǰ��Ҳ��֦��ģ���һ��չ����. ʵ�ʵ����̹����漰����֦��������, ��������֦������������ܵ��໥���谭, ͬʱ�����ܵ�֦���κ�λ�á��κ��ܶȡ�֦����������ȡ������ص�Ӱ��, Ŀǰ����ѧ��[31]���X���߶ϲ�ɨ�輼�����ೡģ�ⷽ����չ��֦����ά�ṹ������о�, �Ӷ���˵��ʵ�ʹ۲쵽��֦����ά�ṹ�ĸ����ԺͶ�����. ���������ý�����CAģ�Ͷ�Al-7Si-0.36Mg�Ͻ����ά֦���������̺�֦����ò��չ��ֵģ��. ģ����õ�������Ϊ400��400��400, ����ߴ�Ϊ5 mm (�������С2 mm��2 mm��2 mm). ���������No.7����λ�ÿ�չ��ά֦������ģ���о�, ���м������е��κ���Ŀ������1��ʵ����κ��ܶ����ݵõ�, ��ÿ�����˶������������ȡ��, �¶�����ͨ����ȡʵ����¶���������ȡ. ͼ11��ʾ����No.7λ�����������µ���ά��֦����֯�ݱ����. ��ͼ�п��Կ���, ���������̳���֦���ߴ��С, �໥Ӱ�����, ֦�������ڹ�������������������������������(ͼ11a). �����¶ȵĽ���, ���������, ֦�������ٶȼӿ�, �����ȶ��Լ���, һ��֦�����ɳ����˶��η�֧, ���������ܵ�����֦�����Ǽ�����߽��Ӱ��, ֦����ʼ���ֲ��Գ�����(ͼ11b��c). ������ĩ��, ֦��ռ������������, ֦���۲��ϴֻ����ۺ�, ʹ�����ճ���Ϊ�ṹ���ӡ���ò������֦����֯(ͼ11d). ͼ12�����˳��������̽���ʱ��ά����֦����ò��ʵ�����ȶ�. ��ͼ�п��Կ���, ����֦���۳ʶ����ֲ�, ����ڶ�άģ����(ͼ9), ��ά������ģ��õ���֦����ò��ʵ�������Ӿ���������. ����, ���ý��߷���ͼ12a��b��ʵ���ģ��õ���No.7λ�ô��Ķ���֦���ۼ�����ͳ��, 2�߷ֱ�Ϊ28.9��24.9 mm. ������ģ������������˱�ģ����ģ����ά֦����������Ŀ�����.

Fig.12 Simulated final dendrite morphologies on arbitrarily two dimensional sections (a) and the obtained experimental metallographic microstructure solidified at the position of No.7 (b)ͼ12 ���̽���ʱ��ά����֦����ò��ʵ�����Ա�

5 ����

(1) ͨ���������ݼ���ͬλ�ô�����ȴ����, �����ں�����κ���������, ��������������ͨ����������Al-7Si-Mg�Ͻ���ᾧ���̵��κ�ģ��. ��ģ�����κ��ܶ�NS��������ȵĵ�����Tm-1��ָ���Ա仯, ���Ҹ�ģ���е���ز���������ȷ����������.

(2) ͨ��������ѧ������ѧ��ƽ����ͼ���ݿ������, �����ÿռ�����仯���㷨, ��������������Ԫ���Ͻ��ά����ά֦��������CAģ��. ���ý������κ˺�����ģ��, ���Al-7Si-0.36Mg�Ͻ�չ�˶�ά֦������������ֵģ��, �����˲�ͬ���������µ�֦���ݻ�����ò����, ����ģ��õ��Ķ���֦���ۼ����ʵ���Ǻ�����, �����˸�ģ����ģ����Ԫ���Ͻ�֦�����������������.

(3) ģ����Al-7Si-0.36Mg�Ͻ���ά��֦����������, ���ڶ�ά��������ʵ�������жԱ�, ����������֦����ά�ռ�ṹ�����ԺͶ�����, �����˱�ģ����ģ����ά֦����������Ŀ�����.

�����
[1] Shi Y F. PhD Dissertation, Tsinghua University, Beijing, 2013
(ʯ���. �廪��ѧ��ʿѧλ����, ����, 2013) [��������:2]
[2] Y?ld?r?m M, ?zy��rek D. Mater Des, 2013;51: 767 [��������:1] [JCR: 0.734]
[3] Chen R, Shi Y F, Xu Q Y, Liu B C. Trans Nonferrous Met Soc China, 2014;24: 1645 [��������:1]
[4] Zhu M, Jian Z Y, Yang G C, Zhou Y H. Mater Des, 2012;36: 243 [��������:1] [JCR: 0.734]
[5] Birol Y. Mater Sci Eng, 2013;A559: 394 [��������:1] [JCR: 0.5]
[6] Wang Q G, Davidson C J. J Mater Sci, 2001;36: 739 [��������:1] [JCR: 2.305]
[7] Ceschini L, Morri A, Morri A, Pivetti G. Mater Des, 2011;32: 1367 [��������:2] [JCR: 0.734]
[8] Samuel A M, Samuel F H. Metall Mater Trans, 1995;367A: 111 [��������:1] [JCR: 1.323]
[9] Wang Q G. Metall Mater Trans, 2003;34A: 2887 [��������:1] [JCR: 1.323]
[10] Zhang L Y, Jiang Y H, Ma Z, Shan S F, Jia Y Z, Fan C Z, Wang W K. J Mater Process Technol, 2008;207: 107 [��������:1]
[11] Li B, Xu Q Y, Pan D, Liu B C, Xiong Y C, Zhou Y J, Hong R Z. Acta Metall Sin, 2008;44: 243
(�� ��, ������, �� ��, ���ٳ�, ���޲�, ������, ������. ����ѧ��, 2008;44: 243) [��������:2] [JCR: 0.548] [CJCR: 0.835]
[12] Huo L, Han Z Q, Liu B C. Acta Metall Sin, 2009;45: 1414
(�� ��, ��־ǿ, ���ٳ�. ����ѧ��, 2009;45: 1414) [��������:1] [JCR: 0.548] [CJCR: 0.835]
[13] Wu M W, Xiong S M. Acta Metall Sin, 2010;46: 1534
(������, ������. ����ѧ��, 2010;46: 1534) [��������:1] [JCR: 0.548] [CJCR: 0.835]
[14] Shi Y F, Xu Q Y, Gong M, Liu B C. Acta Metall Sin, 2011;47: 620
(ʯ���, ������, �� ��, ���ٳ�. ����ѧ��, 2011;47: 620) [��������:2] [JCR: 0.548] [CJCR: 0.835]
[15] Zhu M F, Cao W, Chen S L, Hong C P, Chang Y A. J Phase Equilib Diffus, 2007;28: 130 [��������:1]
[16] Zhang X F, Zhao J Z, Jiang H X, Zhu M F. Acta Mater, 2012;60: 2249 [��������:1] [JCR: 3.94]
[17] Shi Y F, Zhang Y, Xu Q Y, Liu B C. IOP Conf Ser: Mater Sci Eng, 2012;33: 012112 [��������:1]
[18] Michelic S C, Thuswaldner J M, Bernhard C. Acta Mater, 2010;58: 2738 [��������:1] [JCR: 3.94]
[19] Zhao J Z, Li L, Zhang X F. Acta Metall Sin, 2014;50: 641
(�Ծ���, �� �, ���Է�. ����ѧ��, 2014;50: 641) [��������:1] [JCR: 0.548] [CJCR: 0.835]
[20] Th��voz P H, Desbiolles J L, Rappaz M. Metall Mater Trans, 1989;20A: 311 [��������:1] [JCR: 1.323]
[21] Oldfield W. Trans ASM, 1966;59: 945 [��������:2]
[22] Stefanescu D M, Upadhya G, Bandyopadhyay D. Metall Mater Trans, 1990;21A: 997 [��������:1] [JCR: 1.323]
[23] Guzowski M M, Sigworth G K, Sentner D A. Metall Mater Trans, 1987;18A: 603 [��������:1] [JCR: 1.323]
[24] Johnsson M, B?ckerud L, Sigworth G K. Metall Mater Trans, 1993;24A: 481 [��������:1] [JCR: 1.323]
[25] Greer A L, Bunn A M, Tronche A, Evans P V, Bristow D J. Acta Mater, 2000;48: 2823 [��������:4] [JCR: 3.94]
[26] Quested T E, Greer A L. Acta Mater, 2005;53: 2683 [��������:2] [JCR: 3.94]
[27] Chen R, Xu Q Y, Liu B C. J Mater Sci Technol, 2014;30: 1311 [��������:1] [JCR: 1.61] [CJCR: 0.293]
[28] Jiang H X, Zhao J Z. Acta Metall Sin, 2011;47: 1099
(������, �Ծ���. ����ѧ��, 2011;47: 1099) [��������:1] [JCR: 0.548] [CJCR: 0.835]
[29] Ohser J, Lorz U. Quantitative Gefuege Analyse. DVG, Leipzig-Stuttgart, 1994 [��������:1]
[30] Wang Q G, C��ceres C H. Mater Sci Forum, 1996;24: 2159 [��������:1] [JCR: 0.399]
[31] Wang M Y, Xu Y J, Zheng Q W, Wu S J, Jing T, Chawal N. Metall Maters Trans, 2014;45A: 1 [��������:1] [JCR: 1.323]